☰

Нелинейные колебания. Нелинейный осциллятор

Колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к.

Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия.

Квазилинейные системы - системы (1) при . Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см. гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в - .

Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. , ), метод К-функций (см. ), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др.

Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр . Для систем Ляпунова

причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо ).

Для систем, близких к системам Ляпунова,

где того же вида, что и в (2), - аналитич. вектор-функция и малого параметра , непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. гл. I, III, IV).

Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части

где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; множество значений вектора с целочисленными компонентамп таково:

Тогда существует нормализующее преобразование:

приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений

и такое, что , если . Таким образом, нормальная форма (5) содержит лишь резонансные члены, т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех , для к-рых выполнено резонансное уравнение

играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. , гл. VI-VIII).

Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. , ), стробосконич. метод и функционально-аналитич. методы .

Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. ). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в , . Изучены вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в .

Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений теория, Колебаний теория.

Лит. : Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; Брюно А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975.

  • - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени...

    Физическая энциклопедия

  • - тензорные коэффициенты, связывающие нелинейную часть поляризации Р = Р л + Р нл единичного объёма среды, возникающую под действием сильных электрических полей, с величинами...

    Физическая энциклопедия

  • - изменения сигнала S вых, приводящие к искажению передаваемого сообщения S вх, обусловленные нелинейностью оператора тракта передачи L: S вых = LS вх...

    Физическая энциклопедия

  • - процессы в колебат. и волновых системах, не удовлетворяющие суперпозиции принципу...

    Физическая энциклопедия

  • - колебательные системы, св-ва к-рых зависят от происходящих в них процессов. Колебания таких систем описываются нелинейными ур-ниями. Нелинейными явл.: механич...

    Физическая энциклопедия

  • - ур-ния, не обладающие свойством линейности...

    Физическая энциклопедия

  • - возникают в результате взаимодействия волн, полей и частиц, при к-рых не выполняется принцип суперпозиции волн и к-рые описываются с учётом нелинейных слагаемых в ур-ниях кинетики или...

    Физическая энциклопедия

  • - нелинейные оптич...

    Физическая энциклопедия

  • - колебат. и волновые системы, свойства к-рых зависят от происходящих в них процессов; описываются нелинейными диффсренц. ур-ниями. Одна из наиб. характерных особенностей Н.с.- нарушение принципа суперпозиции...

    Естествознание. Энциклопедический словарь

  • - системы, свойства и характеристики которых зависят от их состояния. Среди них могут быть механические и электрические колебательные системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями...

    Начала современного Естествознания

  • - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени - трептения - kmitání; kmity - Schwingungen - rezgés - хэлбэлзэл - wahania; drgania - oscilaţii - oscilacije - oscilaciones - oscillations; vibrations - oscillations...

    Строительный словарь

  • - Статьиволокно...

    Энциклопедический словарь нанотехнологий

  • - термин, который иногда употребляют, подразумевая колебания в нелинейных системах...
  • - Колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов...

    Большая Советская энциклопедия

    • «КОЛЕБАНИЯ» ОПРЕДЕЛЕНИЙ

    Из книги Как говорить правильно: Заметки о культуре русской речи автора Головин Борис Николаевич

    «КОЛЕБАНИЯ» ОПРЕДЕЛЕНИЙ На уроке учащимся было задано упражнение: ввести определение в словосочетание пять рабочих. Ученики быстро предложили свои примеры: пять молодых рабочих, пять старых рабочих, пять квалифицированных рабочих... Затруднений никаких не возникло.

    § 1 Экономические колебания

    Из книги Основы экономики автора Борисов Евгений Филиппович

    § 1 Экономические колебания При поиске истины мы наталкиваемся на парадокс (неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям).Как выглядит волнообразное движение экономикиЧтобы убедиться в том, что происходит в действительности, давайте посмотрим на

    Китайгородский Александр Исаакович

    V. Колебания Равновесие В некоторых случаях равновесие очень трудно поддержать – попробуйте пройтись по натянутому канату. В то же время никто не награждает аплодисментами сидящего в кресле-качалке. А ведь он тоже поддерживает свое равновесие.В чем же разница в этих

    Колебания

    Из книги Курс русской истории (Лекции XXXIII-LXI) автора Ключевский Василий Осипович

    Колебания Отвечая на этот вопрос, мы переберем все наиболее видные явления нашей внутренней жизни. Они очень сложны, идут различными, часто пересекающимися и иногда встречными течениями. Но можно разглядеть их общий


Печенкин А.А. Парадигма и идеология: опыт философской реконструкции истории теории нелинейных колебаний // Философия науки. Вып. 7: Формирование современной естественнонаучной парадигмы – М.: , 2001

А.А.Печенкин

Парадигма и идеология: опыт философской реконструкции истории теории

нелинейных колебаний*

Предварительные замечания

Чтобы показать введенные понятия «в работе», рассмотрим ряд фрагментов истории теории нелинейных колебаний. Термин «теория нелинейных колебаний» мы используем в кунианском социологизированном смысле. Это не просто дедуктивная система (или попытка сформулировать таковую), а социальное явление – представления, развитые в конце 20-х гг. ХХ века и в 30-е гг. сообществом ученых, называемом обычно школой Л.И.Мандельштама. Рассматриваемая таким образом теория нелинейных колебаний сменила нелинейную теорию электрических колебаний голландского физика и радиоинженера Б. Ван дер Поля, над которой тот работал уже в начале 20-х гг. В 1927 г. Л.И.Мандельштам поставил перед своим аспирантом А.А.Андроновым задачу, которая вылилась в серию основополагающих работ, выполненных при участии двух других аспирантов Л.И.Мандельштама – А.А.Витта и С.Э.Хайкина. При этом Л.И.Мандельштам не только инициировал создание теории нелинейных колебаний, но вместе со своим другом и соавтором Н.Д.Папалекси внес вклад в разработку этой теории. В этой разработке участвовали также некоторые другие ученики Л.И.Мандельштама, сотрудники Н.Д.Папалекси, ученики и сотрудники А.А.Андронова, который, переехав в 1931 г. из Москвы в Горький (ныне – Нижний Новгород), основал там свою школу, которая может рассматриваться в качестве ветви школы Мандельштама.

Теория нелинейных колебаний не сразу была признана за рубежом. Ее полноценное признание приходится уже на послевоенные годы, когда Н.Минорский написал свою книгу, в которой представил основные результаты школы Л.И.Мандельштама . В 1949 г. вышел английский перевод книги А.А.Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина «Теория колебаний», изданной в СССР в 1937 г. (поскольку Витт был арестован, его имя было удалено с титула этой книги), книги, представляющей основное содержание и программу теории нелинейных колебаний (так, во всяком случае, говорится в предисловии Мандельштама к этой книге) . В 1966 г. вышел английский перевод второго издания этой книги (1959 г.), подготовленного учеником Андронова Н.А.Железцовым. Впоследствии работы по теории нелинейных колебаний растворились в общем потоке публикаций по нелинейной динамике.

В настоящей статье планируется показать, что не только парадигма, но и идеология направляла формирование и развитие теории нелинейных колебаний, причем именно идеология привела к нетривиальным концепциям, оказавшимся в 70-е гг. в сфере интересов синергетики – теории самоорганизации . В следующем параграфе

речь пойдет о той парадигме, в рамках которой формировалась теория нелинейных колебаний. В третьем параграфе мы рассмотрим эту парадигму «в работе», т.е. обсудим ряд достижений теории нелинейных колебаний (30-е гг.), полученных на пути того, что Т.Кун называл «решение головоломок». В четвертом параграфе будет описана идеология нелинейных колебаний и будет прослежено, как она «работала» за пределами тех задач, которые решались в рамках парадигмы.

Парадигма теории нелинейных колебаний

Как было отмечено выше, теория нелинейных колебаний пришла на смену нелинейной теории электрических колебаний ван дер Поля. Последняя в свою очередь генетически связана с разработкой теории радиотехнического устройства – лампового генератора. В этом устройстве, работающем, как и всякое реальное устройство, с «трением» (т.е. являющемся неконсервативной системой), возникают незатухающие колебания. Конечно, это значит, что система содержит источник энергии (или в систему поступает энергия извне). Однако речь не идет о вынужденных колебаниях. Ламповый генератор сам генерирует незатухающие колебания. Он является автономной системой (дифференциальные уравнения таких систем не содержат времени явно), т.е. системой с непериодическим источником энергии. Незатухающие колебания возникают за счет особой конструкции лампового генератора, включающего, кроме колебательного контура, усилитель (электронную лампу), связанный с колебательным контуром обратной связью.

Оставляя открытым вопрос о парадигме теории ван дер Поля, опишем ту парадигму, которая сложилась в работах Мандельштама, Андронова и их сотрудников в конце 20-х гг. Будем следовать «элементам дисциплинарной матрицы », перечисленным Куном в «Дополнении 1969 г.» к его книге «Структура научных революций».

В качестве первого элемента Кун указывает на «символические обобщения» – математические формулы, выражающие универсальные научные законы. В современной физике – это главным образом дифференциальные уравнения. «Символические обобщения» должны быть достаточно емкими, чтобы постановка конкретных задач шла путем «расшифровки» этих «обобщений».

Ван дер Поль в основном исходил из уравнения, носящего теперь его имя и описывающего принцип действия простого лампового генератора:

d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)

Здесь x – обобщенная координата (в случае лампового генератора – сила тока), t – время, а нелинейный элемент 2x 2 dx/dt выражает работу усилителя (электронной лампы).

В трудах Андронова и других представителей школы Мандельштама «символическим обобщением» становится дифференциальное уравнение, по отношению к которому уравнение ван дер Поля – частный случай. Это следующее уравнение:

d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)

где x и t, как и раньше, обобщенная координата и время, δ – коэффициент затухания, ω – собственная частота, т.е. циклическая частота того процесса, который происходил бы в отсутствии трения и внешней силы, f(x, dx/dt) – нелинейная функция, описывающая действие источника энергии, включенного в систему управления, обеспечивающую незатухающие колебания. Уравнение (2) может быть каждый раз по-своему записано для различных нелинейных задач радиотехники и механики – для описания лампового генератора, часов, фрикционного маятника (так называемого маятника Фроуда, представляющего собой обычный маятник, посаженный с трением на вращающийся с постоянной скоростью вал) и т.д.

На втором месте после «символических обобщений» у Куна стоят «общепризнанные предписания» типа «теплота представляет собой кинетическую энергию частей, составляющих тело». У Мандельштама, Андронова, их сотрудников и учеников таким предписанием было в первую очередь следующее: «построить фазовый портрет колебательной системы – ее траекторию на фазовой плоскости (где осями координат являются х, dx/dt)». Уравнение (2), вообще говоря, не интегрируется, не решается в элементарных функциях. Ван дер Поль, решая уравнение (1), действовал изобретенным им же приближенным методом – методом медленно меняющихся амплитуд (μ трактовалось им как малый параметр). Построение фазового портрета может также рассматриваться как интегрирование. Поскольку фазовый портрет подчиняется строгим законам теории дифференциальных уравнений, построение фазового портрета обеспечивает точное решение дифференциального уравнения. Поскольку фазовый портрет сам по себе не несет количественной информации об амплитуде, фазе и частоте колебаний, то это решение качественное. Отсюда термин, популярный в окружении Андронова, – «качественное интегрирование».

К задаче построения фазового портрета близко подошел ван дер Поль в 1926 г. Действуя методом изоклин, он наметил контуры того, что потом было названо фазовым портретом уравнения (1) . Но его «фазовый портрет» не был объектом качественной теории дифференциальных уравнений, заложенной А.Пуанкаре в последние десятилетия XIX века. Это была скорее картинка, графическая иллюстрация.

Фазовые портреты уравнений (1) и (2) построил Андронов в своих работах 1928–1929 гг., ставших основой его кандидатской диссертации. Андронов показал, что незатухающие колебания, имеющие место в ламповом генераторе, часах и т.д. (он назвал их автоколебаниями), изображаются на фазовой плоскости в виде предельных циклов Пуанкаре – замкнутых кривых, к которым асимптотически приближаются все близлежащие кривые. Предельный цикл окружает особую точку, символизирующую состояние равновесия . В последующих работах Андронов рассмотрел переходные процессы – случаи «жесткого» и «мягкого» возбуждения колебаний в ламповом генераторе – и нашел их геометрические образы на фазовой плоскости.

«Качественное интегрирование» предполагает анализ устойчивости колебаний. Андронов показал, что автоколебаниям соответствуют устойчивые предельные циклы Пуанкаре . При этом существенными оказываются два вида устойчивости: устойчивость по Ляпунову и структурная устойчивость (грубость) колебательной системы. Устойчивость по Ляпунову означает устойчивость по отношению к малым изменениям начальных условий. Термин «грубость динамической системы» был введен Андроновым уже в его первых работах о предельных циклах. Однако корректное формулирование этого понятия было осуществлено им вместе с Л.С.Понтрягиным в 1937 г. Грубой называется система, фазовый портрет которой устойчив по отношению к небольшим изменениям дифференциального уравнения, описывающего эту систему. Чтобы сформулировать «грубость» более точно, надо уравнение (2) переписать в следующем виде:

d 2 x/dt 2 +ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)

где нелинейная функция f(x, dx/dt) представляет уже не только непериодический источник энергии, но и фактор затухания (к тому есть свой резон, так как трение может быть нелинейным). Грубым движением будет устойчивое по отношению к малым изменениям правой части уравнения (3).

Руководствуясь теорией устойчивости, развитой А.М.Ляпуновым в начале ХХ века, Андронов вместе с А.А.Виттом показали, что при условии грубости системы по характеристическим показателям Ляпунова можно судить об устойчивости предельного цикла и, стало быть, о наличии автоколебаний.

автоматического регулирования. Андронов писал, что именно в эти годы им была решена задача устойчивости движений, поставленная перед ним Мандельштамом в 1927 г.

Пользуясь методом припасовывания, фазовый портрет ищут путем составления решения нелинейного уравнения типа (2) из кусочков решений линейных уравнений, аппроксимирующих отдельные участки этого решения, и «сшивания» линейных решений исходя из требования непрерывности решения нелинейного уравнения. При этом константу интегрирования линейного решения, отвечающего последующему линейному кусочку, находят путем «припасовывания» этого участка к предыдущему: начальные значения, характеризующие этот участок, должны совпадать с конечными значениями, характеризующими предыдущий участок.

Тот эскиз фазового портрета, который дает метод припасовывания, сильно зависит от начальных значений, при которых получено решение первого линейного уравнения, словом, от того, при каких условиях начато «припасовывание». При помощи метода точечных отображений этот недостаток может быть отчасти преодолен: во внимание может быть принят интервал возможных начальных значений. Так или иначе, метод припасовывания позволяет судить о характере фазового портрета решаемой задачи и оценить количественные характеристики этого портрета. Он как бы открывает дверь в фазовое пространство, находясь в котором надо уже двигаться по иным законам – не по законам эмпирических наблюдений и правил, а по законам строгой математической теории – качественной теории дифференциальных уравнений.

Выше упоминался другой приближенный метод – метод медленно меняющихся амплитуд, разработанный ван дер Полем. Этот метод тоже использовался для эвристических соображений, касающихся фазового портрета. В 1930 г. Андронов и Витт при помощи метода медленно меняющихся амплитуд рассмотрели явление «захватывания», имеющего место в неавтономной системе (в отличие от уравнений (1) и (2), описывающих автономные системы, в уравнениях для неавтономных систем присутствует член, учитывающий периодическую внешнюю силу)*. При этом они получили образ этого

* Для неавтономных систем типичны «биения», колебания, характеризуемые двумя частотами (частотой ω – см. уравнение (2) и частотой внешней силы). «Захватыванием» называется принудительная синхронизация: изменяя частоту внешней силы, мы наблюдаем, что при некотором значении этого параметра возникают однородные колебания с этой частотой.

явления в фазовом пространстве, т.е. проследили изменение фазового портрета автоколебательной системы с изменением частоты внешней силы .

Метод медленно меняющихся амплитуд состоит в замене уравнения (1) более простыми «укороченными» уравнениями, чье решение аппроксимирует решение исходного уравнения при малых значениях параметра μ. В книге Андронова, Витта и Хайкина объясняется соотношение фазовых портретов исходного уравнения и фазового портрета «укороченных уравнений». Система координат исходного уравнения, помещенная на фазовую плоскость «укороченных» уравнений, вращается по часовой стрелке с угловой скоростью, равной 1. Предельным циклам исходного уравнения соответствуют окружности состояний равновесия на фазовом портрете «укороченных» уравнений, спиралям, накручивающимся на предельные циклы, – прямые траектории на этом вспомогательном фазовом портрете.

Разумеется, эти соответствия ведут лишь к предположительному фазовому портрету исходного уравнения. Однако это предположение вводится в контекст строгой математической теории – качественной теории дифференциальных уравнений. Тем самым оно приобретает более высокий статус в структуре физики. Все теории физики предположительны. Однако среди них имеются замкнутые концептуальные системы, оперирующие строгими понятиями и законами. Эту строгость придает им строгий математический аппарат, в рамках которого они формулируются. Благодаря качественной теории дифференциальных уравнений такой теорией становится теория нелинейных колебаний.

Уже в первых своих работах по предельным циклам Пуанкаре Андронов применял другой асимптотический метод – метод малого параметра, введенный Пуанкаре в «Новых методах небесной механики» (этот метод называют также методом Пуанкаре). В 1930-х гг. в соавторстве с Виттом он применял этот метод в области, выходящей за пределы тех исследований, которые велись на основе качественной теории дифференциальных уравнений.

Сопоставив «онтологические» и «эвристические» модели, мы уже затронули третий элемент куновской «дисциплинарной» матрицы – ценности. Для школы Мандельштама был характерен фундаментализм – предпочтение отдавалось общим физическим теориям, а не «продуктивным» моделям. Как сам Андронов, так и Мандельштам истолковывали работу Андронова по предельным циклам Пуанкаре как основополагающую в теории нелинейных колебаний. Они считали, что благодаря этой работе теория нелинейных колебаний обрела

строгий математический аппарат и тем самым приблизилась по своему статусу к фундаментальной теории (типа механики, электродинамики и т.д.). Ван дер Поль, развивший теорию электрических колебаний и публиковавший свои исследования одновременно с Мандельштамом и Андроновым, не только использовал приближенные методы, он декларировал принципиальную важность этих методов . Мандельштам и Андронов, отдавая должное эффективности методов ван дер Поля, отмечали, что им не было создано теории, «адекватной» рассматриваемому предмету и ведущей к далеко идущим качественным предсказаниям.

В своем предисловии к книге Андронова, Витта и Хайкина Мандельштам подчеркнул концептуальную значимость этой работы. В ней не только разбирались методы, учитывающие нелинейность в виде поправки к линейным расчетам, но и создавался специфический язык нелинейной физики. «В сложной области нелинейных колебаний, – предсказывал Мандельштам, – выкристаллизуются свои специфические общие понятия, положения и методы, которые войдут в обиход физика, сделаются привычными и наглядными, позволят ему разбираться в сложной совокупности явлений и дадут мощное эвристическое оружие для новых исследований»... Физик, интересующийся современными проблемами колебаний, должен уже теперь участвовать в продвижении по этому пути» .

Сказанное не означает, что Мандельштам, Андронов, их сотрудники и ученики недооценивали приближенные методы. Скорее наоборот, почти все их работы 30-х гг. связаны с применением приближенных методов. Предпочтение, отдаваемое точным методам, было своего рода регулятивной идеей. Оно определяло изложение материала в учебниках и обзорных статьях. Кроме того, это предпочтение стимулировало работу по обоснованию приближенного метода медленно меняющихся амплитуд (Л.И.Мандельштам и Н.Д.Папалекси, 1935 г.). И наконец (и это, пожалуй, самое главное), поставив во главу угла качественную теорию дифференциальных уравнений, Андронов в соавторстве с рядом своих сотрудников и учеников разработал теорию эволюции фазового портрета системы, имеющей место при изменении параметра системы. Эта разработка началась с упоминавшегося выше исследования «мягкого» и «жесткого» возбуждения лампового генератора и привела к обогащению теории нелинейных колебаний концепциями «смены устойчивости» и точек бифуркации,

же какой-то асимптотический метод, какой-то корреспонденц-принцип», – говорил Мандельштам . Однако впоследствии он не только одобрил работы своих учеников, использовавших метод малого параметра, но и сам вместе с Н.Д.Папалекси применил этот метод в статье об явлении резонанса второго рода (1934–35 гг.). Андронов и Витт использовали метод малого параметра при расчете системы с двумя степенями свободы. Они сами отмечали, что эта система пока слишком сложна для рассмотрения ее с позиций качественной теории дифференциальных уравнений . Тем не менее, руководствуясь той шкалой ценностей, которая была принята в школе Мандельштама, Г.С.Горелик, один из последних аспирантов Мандельштама и сотрудник Андронова, писал, что «метод малого параметра занимает в его (Андронова) работах совершенно второстепенное место. Главное в них – применение к исследованию нелинейных колебаний качественной теории дифференциальных уравнений и связанных с ней топологических методов» .

И наконец, четвертый компонент «дисциплинарной матрицы » – примеры, на которых отрабатывается формулирование и решение задач, примеры, показывающие как конкретизировать «символические обобщения» и применять к ним «предписания», как «эвристические модели» позволяют построить «онтологическую модель». Как отмечалось выше, теория нелинейных колебаний первоначально складывалась как теория простого радиотехнического устройства – лампового генератора. Это устройство и служило «разделяемым примером», на котором в учебниках объяснялось понятие автоколебаний и использование предельных циклов Пуанкаре для описания автоколебаний. В «Лекциях по колебаниям» Мандельштам приводит еще один пример – маятник Фроуда, в книге Андронова, Витта и Хайкина ламповый генератор соседствует с часами.

Парадигма «в работе»

Чтобы пояснить ту роль, которую играла парадигма в становлении теории нелинейных колебаний, рассмотрим, как были решены две задачи: задача о колебаниях в мультивибраторе Абрагама и Блоха (системе, не содержащей заметных индуктивностей) и задача о колебаниях скрипичной струны. Первая задача (1930 г.) привела к формированию учения о релаксационных колебаниях, сильно несинусоидальных колебаниях, состоящих из быстрых и медленных движений. Вторая (1936 г.) означала прорыв в область распределенных систем, непрерывных сред. В своих первых работах, инициированных

андроновским применением предельных циклов Пуанкаре , Мандельштам, его сотрудники и ученики имели дело исключительно с сосредоточенными системами, колебания которых являются пространственными перемещениями – качаниями маятника, движениями электрического заряда. Хотя параметры, определяющие поведение таких систем – масса маятника, индуктивность и емкость в колебательном контуре, – практически не являются точечными, а распределены по своим пространственным областям, от этой их неточечности можно отвлечься. Сосредоточенные системы описывают обыкновенные дифференциальные уравнения, распределенные – уравнения в частных производных.

Андронов сам дал следующее описание этой истории: «В 1929 г. я стою, – как дальше будет видно, в известном смысле слишком прямолинейно, на той точке зрения, что математическим образом незатухающих колебаний, или автоколебаний, является предельный цикл Пуанкаре . Я рассматриваю различные системы и ищу везде предельные циклы. Однако, я беру обычную идеализированную схему мультивибратора Абрагама – Блоха, содержащую одни только емкости, но показывающую автоколебания. Я пишу дифференциальные уравнения динамики, ищу цикл, но без результатов. Более того, я смог доказать, что рассматриваемые дифференциальные уравнения не могут иметь предельного цикла. Вместо цикла я нашел специфическую кривую, показывающую, что фазовая скорость становится бесконечной. Наличие такой кривой не позволяет однозначно установить движение изображающей точки. Получается парадокс: автоколебания означают циклы, циклов нет, а система

совершает автоколебания. С этим парадоксом я пришел к Мандельштаму, который немедленно понял, в чем дело. После некоторой дискуссии он подытожил: «Если доказано, что циклов нет, это уже что-то. Поскольку система совершает колебания, то либо ваша идеализация негодна, либо Вы не знаете, как с ней работать». Он добавил, что уезжает в Ленинград и постарается там обдумать этот парадокс. По возвращении из Ленинграда он сказал следующее: «Мы с Н.Д.Папалекси думаем, что с вашей идеализацией можно работать и найти периодическое решение, интересное с физической точки зрения. Но это решение не будет принадлежать к непрерывным решениям, которые вы ищете. Это будет разрывное решение, т.е. соответствующее движение изображающей точки будет совершать мгновенные скачки. Мы думаем, что можно найти периодическое решение, если ввести дополнительную гипотезу, что при этих изменениях энергия, запасенная в конденсаторах, изменяется непрерывно». Вскоре я вместе с Виттом попытались реализовать эти соображения Мандельштама. Преодолев некоторые вычислительные трудности, мы нашли разрывное периодическое решение» .

Итак, задача о мультивибраторе Абрагама–Блоха была решена Андроновым в два этапа.

Андронов строго показал, что эта система уравнений «не допускает никаких непрерывных периодических решений». В то же время парадигмальные задачи подсказывали ему, что система является автоколебательной, т.е. совершает непрерывное периодическое движение.

II. Обсудив вопрос с Мандельштамом, Андронов в соавторстве с Виттом решил «головоломку». Удерживая ту же идеализацию, он принял «гипотезу скачка», подсказанную ему Мандельштамом и Папалекси. Эта гипотеза, состоящая в том, что напряжения на конденсаторах непрерывны, позволяет «достроить» фазовую траекторию уравнений мультивибратора до предельного цикла в четырехмерном фазовом пространстве. Изображающая точка, достигнув критического значения (скорость изменения напряжения на сетке обращается в бесконечность), совершает скачок в точку кривой, определенной указанными условиями непрерывности, и затем снова движется по фазовой траектории этих уравнений,

обращается в бесконечность), совершает скачок в точку кривой, определенной указанными условиями непрерывности, и затем снова движется по фазовой траектории этих уравнений.

Задачу о колебаниях скрипичной струны решал Витт, который еще в 1934 г. опубликовал статью о «распределенных автоколебательных системах». В этой работе, однако, как Витт сам оговаривает, он действовал весьма грубыми приближенными методами. Во-первых, он рассматривает нелинейные системы как слабо нелинейные, что дает ему возможность применять метод малого параметра, причем в его самом простом варианте, где учитывается только первый член ряда по степеням параметра μ. Во-вторых, Витт предполагает, что теорема Ляпунова об устойчивости, справедливая для концентрированных систем, имеет силу и для распределенных систем.

В статье о колебаниях скрипичной струны Витт уже работает в рамках парадигмы теории нелинейных колебаний. Математически эта задача формулируется в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных: волновое уравнение и уравнения, выражающие граничные условия – одно из них нелинейное. Чтобы привести задачу к виду, соответствующему «символическому обобщению» (1)–(2), Витт использует метод точечных отображений (см. выше). Иными словами, он из уравнений в частных производных получил «функциональное уравнение», к которому в соответствии с методом точечных отображений приводятся задачи с обыкновенными дифференциальными уравнениями. «Чтобы получить универсальные соотношения, мы будем пользоваться безразмерными величинами, – пишет Витт. – Положение точки на струне мы будем измерять величиной y=x/l, где x – расстояние рассматриваемой точки струны от закрепленного конца, / – длина половины струны, время мы будем измерять отношением τ=tc/l=4t/T, где с – скорость распространения колебаний в струне, t – время, T – период основного тона свободных колебаний. Обозначим через u отношение v/l, где v – смещение струны. По Даламберу:

u=φ 1 (τ-у)+φ 2 (τ+у) (а)

при y=0: u=0 и, следовательно, ъ=0 (для τ>0) (б)

ϕ(τ+Τ )=ψ(ϕ(τ))

с начальными значениями ϕ(t)=ϕ 0 (τ), 0<τ<Τ.

Это уравнение, определяющее точечные отображения, он исследовал при помощи итераций. При этом он ввел понятие стационарной последовательности, примерами таких последовательностей служат последовательности, все члены которых одинаковы, и периодические последовательности. Он также ввел понятие последовательности, устойчивой по Кёнигсу Аналогия с предельными циклами возникает, когда эти последовательности наносятся на диаграммы Лемерея (графики функции ψ(ϕ(τ)) в декартовых координатах ϕ(τ)=х и ϕ(τ+Т)=ψ).

Витт рассматривал пример весьма простой распределенной нелинейной системы: нелинейность у него была сосредоточенной в точке соприкосновения смычка и струны. Систематическое исследование нелинейных колебаний распределенных систем началось позже – в 50-х гг. И проводилось уже не в рамках «парадигмы автоколебаний», а «идеологии автоколебаний».

Идеология теории нелинейных колебаний

Идеология теории нелинейных колебаний – это в первую очередь понятие автоколебаний, введенное, как отмечалось выше, Андроновым в статьях 1928–1929 гг. Фактически с автоколебаниями имел дело и ван дер Поль, описывая незатухающие колебания в ламповом генераторе, но он не вводил для них специального термина. Андронов же не только ввел специальный термин, он придал этому явлению теоретическую глубину, связав автоколебания с предельными циклами на фазовой плоскости. И до Андронова радиоинженеры и радиофизики знали, что для лампового генератора типичны незатухающие колебания, характеризующиеся своей специфической амплитудой, независящей от условий возбуждения этих колебаний. Андронов, однако, сделал это понятие теоретическим. Он показал,

что устойчивость автоколебаний может пониматься в математическом смысле и эксплицируется как устойчивость по Ляпунову и грубость колебательной системы.

Понятие автоколебаний стало набирать авторитет после Первой Всесоюзной конференции по колебаниям (1931 г.), которую провела школа Л.И.Мандельштама . Автоколебания были в центре внимания этой конференции. Мы читаем в одной из статей 1936 г., что «в настоящее время существует математически строгая и физически адекватная теория обширного класса автоколебательных явлений, доказавшая свою плодотворность в большом числе исследований» . «Явление автоколебаний… встречается в природе на каждом шагу», – пишет в своем учебнике Г.С.Горелик, о подходе которого к методу малого параметра шла речь выше . «Советскими учеными, – говорится в одном из обзоров, – по существу была создана новая область науки о колебаниях – область автоколебаний, которая в настоящее время пополняется новыми исследованиями и результатами» .

В послевоенные годы появляются книги, специально посвященные автоколебаниям. В 1944 г. вышла книга К.Ф.Теодорчика, занявшего в 1939 г. пост. и.о. заведующего кафедрой колебаний, основанной Л.И.Мандельштамом. Книга называлась «Автоколебательные системы», и она выдержала три издания. Три издания выдержала и книга крупного специалиста по проблемам автоматического регулирования А.А.Харкевича «Автоколебания». В предисловии к этой книге, написанной «без единой математической формулы в основном тексте», констатируется «широкое значение автоколебаний не только для техники, но и вообще для естествознания» .

Идеология возникает вместе с парадигмой, можно также сказать, что парадигма несет некую идеологию. Однако идеология распространяется дальше парадигмы. Выше мы охарактеризовали четыре составные части парадигм по Куну: «символические обобщения» (обычно это – дифференциальные уравнения), «предписания» (обычно это – методы решения дифференциальных уравнений), ценности, устанавливающие иерархию среди предписаний, и разделяемые примеры, достаточно простые задачи, позволяющие объяснить, каким образом «предписания» обеспечивают применение «символических обобщений». Как «символические обобщения», так и «предписания» обусловлены определенными правилами (например, правилами математики). Идеология же – это слова и выражения, значения которых разъясняются на примерах (аналогиях и иллюстрациях). Применение этих слов и выражений направляется интуицией. Конечно, в каждом научном сообществе – своя интуиция. Но интуиция

может идти дальше правил и даже ставить проблемы, требующие ревизии правил. Значения слов и выражений могут развиваться, образуя то, что Л.Витгенштейн называл «семейные сходства». Например, значение слова «игра», которое Витгенштейн берет в качестве образца, допускает такие примеры, как шахматы, пасьянс, хоровод. Значение же слова «автоколебания» может быть разработано в ряде иллюстраций, начинающихся ламповым генератором, маятником Фроуда и механическими часами и включающим скрипичную струну, возбуждаемую смычком, звезды переменной яркости (cepheids), сердце и «биологические часы». Если же обратиться к такому предикату , как «быть обусловленным свойствами самой системы, а не начальными условиями», то этот ряд пополнится такими объектами, как автоволны и диссипативные структуры.

Одним из важных признаков идеологического применения понятия является размывание его содержания. Понятие как бы выходит за пределы своей области применения. По сути дела это значит, что формулируются аналоги этого понятия, что возникают новые понятия под тем же самым термином, причем понятия, не определенные четко.

Первым таким порогом, который преступило понятие автоколебаний, был порог между автоколебаниями и вынужденными колебаниями. «В связи с открытием новых принципов генерации автоколебаний и развитием уже известных, понятие автоколебаний после второй мировой войны значительно расширилось. В частности, к автоколебаниям стали относить не только те незатухающие колебания, энергия которых черпается из постоянного источника, но и те колебания, которые поддерживаются за счет энергии другого достаточно сильного колебательного процесса, возбуждаемого извне... (такие колебания могут быть полностью погашены изменением какого-либо параметра системы, скажем, затухания или расстройки)» .

Продолжением этого процесса размывания оказывается репликация понятия в виде лингвистических аналогов. По отношению к автоколебаниям таковой явилось появление понятий автоволны и автоструктуры. Первое ввел Р.В.Хохлов в отзыве на докторскую диссертацию А.М.Жаботинского, посвященную колебательным химическим реакциям (1972 г.). Хохлов имел в виду, что Жаботинский описал не только собственно химические автоколебания, но и похожие волновые процессы, похожие в смысле их суверенности – независимости от начальных и, до некоторых пределов, граничных условий и определимости параметрами системы.

Понятие автоструктур появляется в совместной статье двух авторов, относящих себя к школе Мандельштама, – А.В.Гапонова-Грехова (бывшего аспиранта Андронова) и М.И.Рабиновича . Под автоструктурой понимается устойчивая пространственная или временная упорядоченность, возникающая в распределенной системе с явно выраженной нелинейностью и находящейся далеко от равновесного состояния. Свойством автоструктур снова являются их относительная независимость от начальных и граничных условий.

Нетрудно видеть, что при формулировании таких понятий, как автоволны и автоструктуры, используется не просто какое-либо определение автоколебаний, но языковые формы, заложенные в этих определениях. Эти языковые формы передают уже не просто интуицию предельного цикла, которую несут определения автоколебаний, но скорее интуицию аттрактора вообще.

Выше упоминалась статья Гапонова-Грехова и Рабиновича, в которой вводились «автоструктуры». В интервью, данном автору этих строк (22.05.1992), в ответ на вопрос: «Нельзя ли сказать, что для Вас существенна некая «автоколебательная идеология»?» – М.И.Рабинович сказал: «Да, безусловно. На самом деле даже не в слове дело. Просто автоколебания, как и автоволны, которые придумал Р.В.Хохлов. Он придумал не сами волны, а слово, очень удачный оборот… Но, понимаете, очень удачное слово. Я практически всю жизнь занимаюсь нелинейными диссипативными неравновесными системами. Это могут быть среды. Я, как правило, волновыми задачами занимаюсь или турбулентностью, но там всегда есть диссипация. У меня гамильтоновы системы, системы без трения, без диссипации, всегда предельный случай. Мне интереснее всегда были системы с аттракторами, у которых при t→∞ всегда что-то устанавливается: хаос, так хаос, периодические колебания, так периодические колебания, стохастические структуры – ради бога. В этом смысле для меня структуры и динамический хаос – просто разные типы аттрактора, которые устанавливаются при t, стремящемся к бесконечности, в процессе эволюции поведения системы. Меня всегда интересовали системы, в которых что-то устанавливается, в которых есть нечто объективное, независимое от начальных условий».

Итак, М.И.Рабинович увлечен не столько самой концепцией автоколебаний, сколько содержащейся в ней идеей суверенности, несущей интуицию аттрактора.

Заключение

При философской квалификации научной теории упор обычно делают либо на ее описательные возможности, либо на ее объяснительный инструментарий. В настоящей статье во внимание приняты обе эти ипостаси теоретического знания. Парадигма – это руководство по решению задач, по построению научных объяснений и предсказаний. Идеология же – это язык, аппарат научного описания, простирающегося, как правило, за пределы объяснительных ресурсов.

Примечания


Кун Т . Структура научных революций / Пер. с англ. И.З.Налетова. Под ред. С.Р.Микулинского и Л.А.Марковой. М, 1975. С. 70.

Minorsky N. Introduction to Nonlinear Mechanics. Michigan: J.W.Edwards, 1947.

Andronov A.A., Chaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton: Princeton Univ. Press., 1949.

Van der Pol B. On Relaxation Oscillations // Philos. Mag. Ser. 7. Vol. 2, 1926. P. 978–992.

Андронов А.А. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний // IV съезд русских физиков. М., Н.-Новгород, Казань, Саратов (5–16 августа 1928 г.). Перечень докладов, представленных на съезд с кратким их содержанием. М.-Л., 1928. С. 23–24; Он же . Les cycles limites de Poincarй et la thйorie des oscillations autoentrenues // C.r. Acad sci. Paris. T. 189, 1929. P. 559–561. Перепечатано: Андронов А.А. Собр. тр. М., 1956. С. 32–33, 41–43.

Аndronov А.А., Vitt А.А. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Archiv fuer Elektrotechnik. Bd. 24, 1930. S. 99–110. Перепечатано: Горелик Г.С. Колебания и волны. М.; Л.: ГТТИ, 1950. C. 105.

Крылов Н.Н. Пути развития теории нелинейных колебаний в СССР за 50 лет // Радиотехника. 1969. Т. 24, № 5. С. 10.

Харкевич А.А. Автоколебания. М., 1950. С. 5.

Каплан А. Автоколебания (не опубликовано). 1979. С. 5.

Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И . Л.И.Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний и волн // Успехи физических наук. Т. 128, 1979. С. 579–624.

Далеко не при всяких колебаниях возвращающая сила пропорциональна отклонению (т. е. меняется по закону (- кх)). Рассмотрим, например, рессору, изображенную на рисунке 2.74. Она состоит из нескольких пластин. При небольших деформациях изгибаются только длинные пластины. При больших нагрузках изгибу подвергаются и более короткие (и более жесткие) пластины. Возвращающую силу теперь можно описать так:


бательный режим переходит в апериодический, когда колебания исчезают и тело просто медленно приближается к положению равновесия (рис. 2.72, б, в).

Введите вместо строки, где ставятся точки (t,x), строку, где будут ставиться точки (x,v ), и получите фазовые портреты затухающих колебаний при разном трении. Можно воспользоваться и одной из готовых программ Phaspdem* или Phport * из имеющихся в пакете ПАКПРО. Должны получаться диаграммы типа изображенных на рисунке 2.73.

Чтобы она была возвращающей, т. е. F и х всегда имели разные знаки, ее следует разложить в ряд по нечетным степеням х. Поскольку потенциальная энергия U связана с силой формулой F = - dU/dx , это означает, что

т. е. колебания происходят в потенциальной яме со стенками, более крутыми, чем у параболы (рис. 2.75, а). Трение пластин друг о друга обеспечивает затухание, необходимое для демпфирования колебаний.

Возможны колебания и в асимметричной яме, когда

(рис. 2.75, б). Возвращающая сила при этом будет равна

При решении задач на нелинейные колебания неизбежно использование компьютера, так как аналитических решений не существует. На компьютере же решение совсем не сложно. Нужно только в строке, где производится наращивание скорости (v = v + F At/m), полностью написать выражение для F, например -кх- гх 2 - рх 3 .

Пример. Программа для вычерчивания графика нелинейных колебаний приведена в пакете ПАКПРО под именем Nlkol. Запустите ее в работу. Должна получиться серия кривых для разных начальных отклонений. При х 0 большем некоторого значения колеблющаяся частица покидает потенциальную яму, преодолев потенциальный барьер.

Испытайте также работу программ Nlcol* и Nlosc.*, имеющихся в пакете ПАКПРО, а также программы, с помощью которых можно получить фазовые портреты нелинейных колебаний: Phaspnl.*, Phportnl*.

Отметим, что, строго говоря, почти любые колебания являются нелинейными. Только при малых амплитудах их можно считать линейными (пренебрегать членами с х 2 , х 3 и т. д. в формулах типа (2.117)).


Пусть на осциллятор, кроме возвращающей силы, обеспечивающей собственные колебания с частотой С0о, действует еще внешняя сила, причем меняющаяся периодически с частотой со, равной или не равной (Оо. Эта сила будет раскачивать тело с частотой со. Возникающие при этом колебания называются вынужденными.

Уравнение движения в этом случае будет таким:

Вначале происходит процесс установления колебаний. От первого толчка тело начинает колебаться с собственной частотой со 0 . Потом постепенно собственные колебания затухают, и вынуждающая сила начинает управлять процессом. Устанавливаются вынужденные колебания уже не с частотой (Оо, а с частотой вынуждающей силы со. Переходный процесс очень сложен, аналитического решения не существует. При решении задачи численным методом программа будет ничуть не сложнее, чем, скажем, программа для затухающих колебаний. Нужно только в строке, где в соответствии с уравнением движения производится наращивание скорости, добавить вынуждающую силу в виде FobiH = Focos(cot).

Пример. В пакете ПАКГ1РО дан пример программы для получения графика вынужденных колебаний на экране компьютера. См. также программы Ustvcol.pas и UstvcoW.pas. Получающийся график х(?) и фазовая диаграмма v(x) показаны на рисунке 2.76. При удачном подборе параметров хорошо видно, как постепенно устанавливаются вынужденные колебания. Установление вынужденных колебаний интересно наблюдать также на фазовой диаграмме (программа Phpforc.pas).

Когда колебания с частотой со уже установились, можно найти решение уравнения (2.118) в виде


Здесь Жо - амплитуда установившихся колебаний. Если подставить (2.119) в (2.118), найдя предварительно производные по времени х" и х" и учитывая, что к = соо 2 тп, то оказывается, что (2.119) будет решением уравнения (2.118) при условии, что

Трение не учитывалось, коэффициент а полагался равным нулю. Видно, что амплитуда колебаний резко возрастает при приближении со к Сйо (рис. 2.77). Это явление носит название резонанса.

Если бы трения действительно не было, амплитуда при со = (Оо была бы бесконечно большой. Реально так не бывает. На том же рисунке 2.77 показано, как с увеличением трения меняется резонансная кривая. Но все же при совпадении со и соо амплитуда может стать в десятки и сотни раз больше, чем при со Ф СОо. В технике это явление опасно, так как вынуждающие колебания двигателя могут попасть в резонанс с собственной частотой каких-либо частей машины, и она может разрушиться.

Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразными способами. Классический пример - это нелинейная пружина, в которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид

Если затухание отсутствует и имеются периодические решения, в которых при естественная частота увеличивается с амплитудой.

Рис. 1.7. Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая сила (а и определяются в уравнении (1.2.4)).

Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика.

Если на систему воздействует периодическая сила, то в классической теории полагают, что и отклик будет периодическим. Резонанс нелинейной пружины при частоте отклика, совпадающей с частотой силы, показан на рис. 1.7. Как показано на этом рисунке, при постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая линия на рис. 1.7 неустойчива, и при росте и уменьшении частоты происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно наблюдается в экспериментах со многими механическими и электрическими системами.

Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания. Если вынуждающая сила имеет вид , то субгармонические колебания могут иметь вид плюс более высокие гармоники ( - целое число). Как мы увидим ниже, субгармоники играют важную роль в предхаотических колебаниях.

Теория нелинейного резонанса зиждется на предположении, что периодическое воздействие вызывает периодический отклик. Однако именно этот постулат оспаривает новая теория хаотических колебаний.

Самовозбуждающиеся колебания - другой важный класс нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происходят в системах без периодических внешних воздействий или периодических сил. На рис. 1.8 показаны несколько примеров.

Рис. 1.8. Примеры самовозбуждакяцихся колебаний: а - сухое трение между массой и движущимся ремием; б - аэроупругие силы, действующие на тонкое крыло; в - отрицательное сопротивление в цепи с активным элементом.

В первом примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относительным движением массы и движущегося ремня. Второй пример иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за твердым телом на упругой подвеске. В классическом примере из области электричества, показанном на рис. 1.9 и исследованном Ван дер Полем, в цепь включена электронная лампа.

Во всех этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В случае осциллятора Ван дер Поля источником энергии является постоянное напряжение.

Рис. 1.9. Схема цепи с вакуумной лампой, в которой происходят колебания на предельном цикле того же типа, который исследовал Ван дер Поль.

В математическую модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного сопротивления:

Энергия может поступать в систему при малых амплитудах, но при увеличении амплитуды ее рост ограничивается нелинейным затуханием.

В случае маятника Фруда (см., например, ), подвод энергии осуществляется стационарным вращением оси. При малых колебаниях нелинейное трение играет роль отрицательного затухания; между тем при сильных колебаниях амплитуда колебаний ограничивается нелинейным членом

Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рис. 1.10 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (см. рис. 1.10 и 1.11, где ).

При изучении подобных проблем часто возникают два вопроса. Какова амплитуда и частота колебаний на предельном цикле? При каких значениях параметров существуют устойчивые предельные циклы?

Рис. 1.10. Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости.

Рис. 1.11. Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля.

В случае уравнения Ван дер Поля удобно нормировать пространственную переменную на , а время - на так что уравнение принимает вид

где . При малых предельный цикл представляет собой окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е.

где через обозначены гармоники третьего и более высоких порядков. При больших движение приобретает вид релаксационных колебаний, показанных на рис. 1.11, с безразмерным периодом около 1.61 при

Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер Поля:

Поскольку эта система нелинейна, неприменим принцип суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей частоте, когда последняя близка к частоте предельного цикла. При слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения, но лишь одно из них устойчиво (рис. 1.12). При больших значениях амплитуды силы существует только одно решение. В любом случае с увеличением расстройки - при фиксированном захваченное периодическое решение оказывается неустойчивым и становятся возможными другие типы движения.

Рис. 1.12. Амплитудные кривые для вынужденного движения осциллятора Ван дер Поля (1.2.9).

При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в системе Ван дер Поля появляется новое явление - комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или квазипериодическими решениями. Комбинационные колебания имеют вид

Когда частоты и несоизмеримы, т. е. - иррациональное число, решение называется квазипериодическим. Для уравнения Ван дер Поля , где - частота предельного цикла свободных колебаний (см., например, ).

Пер. с англ. Болдова Б. А. и Гусева Г. Г. Под редакцией В. Е. Боголюбова. - М.: Мир, 1968. - 432 с.
Удк 534 (Механические колебания. Акустика). Есть текстовый слой (т. е. легко копируется текст).
Монография известного японского ученого Т. Хаяси посвящена теории нелинейных колебательных процессов, происходящих в самых различных физических системах.
Книга представляет собой переработанное и дополненное издание одной из более ранних работ автора, знакомой советскому читателю по русскому переводу (Хаяси Т., Вынужденные колебания в нелинейных системах, Ил, М. , 1957). Однако после переработки и дополнения получилась фактически новая книга.
Она отличается от предыдущей не только новыми разделами, но и значительно усовершенствованной методикой изложения. Книга представляет интерес как для физиков и инженеров различных специальностей, имеющих дело с теорией нелинейных колебаний и ее приложениями, так и для математиков, занимающихся теорией дифференциальных уравнений.
Оглавление.
Предисловие к русскому изданию.
Предисловие.
Введение.
Часть i. Основные методы анализа нелинейных колебаний.
Глава i.
Аналитические методы.
Введение.
Метод возмущений.
Метод итераций.
Метод усреднения.
Принцип гармонического баланса.
Численные примеры решения уравнения Дуффинга.
Глава ii.
Топологические методы и графические решения.
Введение.
Интегральные кривые и особые точки на плоскости состояний.
Интегральные кривые и особые точки в пространстве состояний.
Метод изоклин.
Метод Льенара.
Дельта-метод.
Метод наклонных прямых.
Глава iii.
Устойчивость нелинейных систем.
Определение устойчивости по Ляпунову.
Критерий Рауса - Гурвица для нелинейных систем.
Критерий устойчивости по Ляпунову.
Устойчивость периодических колебаний.
Уравнение Матье.
Уравнение Хилла.
Улучшенное приближение характеристического показателя для.
уравнения Хилла.
Часть ii, Вынужденные колебания в установившемся режиме.
Глава iy.
Устойчивость периодических колебаний в системах второго порядка.
Введение.
Условие устойчивости периодических решений.
Улучшенные условия устойчивости.
Дополнительные замечания об условиях устойчивости.
Глава y.
Гармонические колебания.
Гармонические колебания при симметричной нелинейной характеристике.
Гармонические колебания при несимметричной нелинейной характеристике.

Глава Yi.
Ультрагармонические колебания.
Ультрагармонические колебания в.
последовательно-резонансных цепях.
Экспериментальное исследование.
Ультрагармонические колебания в параллельно-резонансных цепях.
Экспериментальное исследование.
Глава Yii.
Субгармонические колебания.
Введение.
Связь между нелинейной характеристикой и порядком.
субгармонических колебаний.

характеристике, представленной кубической функцией.
Субгармонические колебания порядка 1/3 при нелинейной.
характеристике, представленной полиномом пятой степени.
Экспериментальное исследование.

характеристике, представленной полиномом третьей степени.
Субгармонические колебания порядка 1/2 при нелинейной.
характеристике, представленной симметричной квадратичной.
функцией.
Экспериментальное исследование.
Часть iii. Переходные процессы вынужденных колебаний.
Глава Yiii.
Гармонические колебания.
Введение.
Периодические решения и их устойчивость.
Анализ гармонических колебаний с помощью интегральных.
кривых.
Анализ гармонических колебаний на фазовой плоскости.
Геометрический анализ интегральных кривых для консервативных систем.
Геометрический анализ интегральных кривых для диссипативных систем.
Экспериментальное исследование.
Глава ix.
Субгармонические колебания.
Анализ субгармонических колебаний с помощью интегральных кривых.
Анализ субгармонических колебаний порядка 1/3 на фазовой плоскости.
Экспериментальное исследование.
Субгармонические колебания порядка 1/5.
Субгармонические колебания порядка 1/2.
Анализ субгармонических колебаний порядка 1/2 на фазовой.
плоскости.
Исследование на аналоговой вычислительной машине.
Глава x.
Начальные условия, приводящие к различным видам.
периодических колебаний.
Метод анализа.
Симметричные системы.

колебаний порядка 1/3.
Несимметричные системы.
Области притяжения для гармонических и субгармонических.
колебаний порядков 1/2 и 1/3.
Экспериментальные исследования.
Глава Xi.

Введение.
Почти периодические колебания в резонансной цепи с подмагничиванием постоянным током.
Оглавление.
Экспериментальное исследование.
Почти периодические колебания в параметрически.
возбуждаемой цепи.
Часть iv. Автоколебательные системы при периодическом воздействии внешней силы.
Глава Xii.
Захватывание частоты.
Введение.

Гармоническое захватывание.
Ультрагармоническое захватывание.
Субгармоническое захватывание.
Области захватывания частоты.
Анализ при помощи аналоговой вычислительной машины.

Автоколебательная система при нелинейной восстанавливающей силе.
Глава Xiii.
Почти периодические колебания.
Уравнение Ван-дер-Поля с вынуждающим членом.

гармонических колебаний.
Геометрическое рассмотрение интегральных кривых на.
границе гармонического захватывания.
Почти периодические колебания, возникающие из.
ультрагармонических колебаний.
Почти периодические колебания, возникающие из.
субгармонических колебаний.
Автоколебательная система с нелинейной восстанавливающей силой.
Приложение i. Разложения функций Матье.
Приложение ii. Неустойчивые решения уравнения Хилла.
Приложение iii. Неустойчивые решения обобщенного уравнения Хилла.
Приложение iv. Критерий устойчивости, полученный с помощью метода.
возмущений.
Приложение v. Замечания, касающиеся интегральных кривых и особых точек.
Приложение Vi. Электронный синхронный коммутатор.
Задачи.
Литература.
Указатель.
Т. Хаяси.
Нелинейные колебания в физических системах.

Редактор Н. Плужнакова Художник А. Шкловская.
Художественный редактор В. Шаповалов Технический редактор Н. Турсукова.
Сдано в производство 9/Х 1967 г. Подписано к печати 25/Ш 1968 г.
Бумага 60х90у1в-= 13,5 бум. л. 27,0 печ. л.
Уч. -изд. л. 24,
0. Изд. № 1/3899.
Цена 1 р. 91 к. Зак. 907.
Темплан 1968 г. изд-ва «Мир», пор. № 38.
Издательство "Мир", Москва, 1-й Рижский пер. , 2.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета.
по печати при Совете Министров Ссср. Измайловский пр. , 29.

Смотрите также

Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин

  • формат файла: pdf
  • размер: 5.53 МБ
  • добавлен: 25 сентября 2011 г.

Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010 г., 217 с. В монографии рассматриваются асимптотические методы решения задач колебаний балок и пластин. Основное внимание уделено гомотопическому методу возмущений, который основывается на введении искусственного малого параметра. Исследованы линейные колебания конструкций со смешанными граничными условиями, а также нелинейные колебания систем с распределен...

Вибрации в технике. Том 6. Защита от вибрации и ударов

  • формат файла: djvu
  • размер: 7.28 МБ
  • добавлен: 27 октября 2009 г.

Фролов К. В. В шестом томе изложены методы снижения виброактивности источников колебаний и настройки динамических гасителей. Рассмотрены вопросы балансировки вращающихся деталей машин, уравновешивания машин и механизмов, выбора рациональных законов перемещения рабочих органов машин, изоляции оборудования и основания, а также проблемы защиты человека от вибрации. Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых расчетами, пр...

Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел

  • формат файла: djvu
  • размер: 8.89 МБ
  • добавлен: 27 октября 2011 г.

М.:Наука,1976, 432 с. Исследованы нелинейные колебания в пространственном движении, в частности условия возникновения резонансов. Работа актуальна при создании систем амортизации авиационной и космической техники. Ганиев Р. Ф. - акад. РАН, Кононенко В. О. - акад. АН Украины. Амортизатор упругий 39 Виброамортизация 145, 41, 7 Виброизоляция 145, 417 Возбуждение кинематическое 134, 358 Гирорама двухосная 343 Гирорама трехосная 353 Гироскоп астатичес...

Ден-Гартог Д.П. Механические колебания

  • формат файла: djvu
  • размер: 7.5 МБ
  • добавлен: 25 мая 2010 г.

М. Физматгиз. 1960г. 574 с. Кинематика колебаний. Системы с одной степенью свободы. Две степени свободы. Системы с произвольным числом степеней свободы. Многоцилиндровые двигатели. Вращающиеся части машин. Автоколебания. Квазигармонические и нелинейные колебания систем.

Мигулин В.В. Основы теории колебаний

  • формат файла: djvu
  • размер: 3.88 МБ
  • добавлен: 10 января 2010 г.

Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических и других системах, а также с различными качественными и количественными методами их изучения. Значительное внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных колебательных систем. Изучение описанных в книге колебательных систем и процессов в них приведено известными методами теории колебаний без подроб...

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний

  • формат файла: pdf
  • размер: 8.75 МБ
  • добавлен: 23 февраля 2010 г.