Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Каждый из нас в течение дня сталкивается с тем, что его неправильно или не до конца поняли. Самое печальное, что в большинстве случаев виновники этому мы сами. Там говорили с набитым ртом, там вместо того, чтобы показать на карте, начали рассказывать схему проезда. Эйнштейн говорил: «Просто объяснить сложное сложно. Сложно объяснить сложное просто
». Прикладывая немного усилий в объяснениях, мы можем улучшить результат коммуникаций в десятки раз.
Следите за тем, как вас слышно
. Первая из популярных причин непонимания друг друга — это плохая слышимость. Основания этому: плохая дикция, шумное место или плохая телефонная связь. А если собеседник еще и разговаривает со скоростью пулемета, то понять его просто невозможно.
Говорите на одном языке . Убедитесь, что все используемые слова и вы, и собеседник понимаете одинаково. Представьте, что вы поехали к родственникам за полторы тысяч километров и вас просят: «Принеси венчик». Что это веник, вино или …? Кстати, 90% споров могут быть потушены одной фразой: «Мы спорим потому, что не договорились о терминах. Давайте их обсудим ».
Творите образы . Мало использовать одни и те же слова. Нужно, чтобы они создавали в голове каждого из нас одинаковые образы. Вот какой образ у вас возникает на фразу «сообразительный человек»? Наверно, это кто-то из ваших знакомых, который легко понимает ваши мысли. Все дело в том, что слово сообразительный означает того человека, который представляет образы соответственные тем, которые вы излагаете.
Проводите аналогии . Очень часто полезно выйти за рамки темы разговора. Взяв из опыта собеседника схожую ситуацию, можно легко объяснить сложную тему. Например, сисадмины очень часто жалуются на непонимание бухгалтерами основ компьютерных сетей. После проведения аналогии общение людей и взаимодействие компьютеров такая проблема отпадает. Сервер – бабушка сплетница на лавочке, информация – слухи. Теперь сервер будут беречь как зеницу ока, и спрячут в случае проверки из органов.
Рисуйте . Почти любую сложную вещь можно нарисовать. Если сложность заключается в логической взаимосвязи объектов, то можно воспользоваться кругами Эйлера . Если же дело в том, что составных частей столь много, что начинаешь в них путаться сам, то можно воспользоваться майндмэппингом . Вот пример рисунка, который показывает, каким занятиям стоит уделять больше всего внимания:
Задавайте уточняющие вопросы . Мало объяснить, стоит еще и проконтролировать, что тебя правильно поняли. А в идеале записали. Вы ведь догадались, как называется пересечения кругов «Что я люблю делать» и «Что у меня получается», но за что не платят?
Время основано на секундах, минутах и часах.
В то время как основа для этих единиц изменялась на протяжении всей истории, корни их прослеживаются еще в древнем государстве Шумере.
Современная международная единица времени определяется электронным переходом атома цезия. Но что из себя представляет эта физическая величина?
Время измеряет прогресс событий
Время - это измерение прогрессирования событий. Физики определяют эту величину как прогрессирование событий из прошлого в настоящее и в будущее. В принципе, если система неизменна, она вне этого показателя. Время можно рассматривать как четвертое измерение реальности, используемое для описания событий в трехмерном пространстве. Это не то, что мы можем видеть, ощущать или вкушать, но мы можем измерить его прохождение.
Стрелка показывает, что время перемещается из прошлого в будущее, а не наоборот
Стрелка на часах показывает, что время перемещается из прошлого в будущее, а не в другом направлении. Физические уравнения работают одинаково хорошо, идет ли величина вперед, в будущее (положительное время), или назад, в прошлое (отрицательное время). Однако в естественном мире эта величина имеет одно направление. Вопрос о том, почему она необратима, является одним из самых больших неразрешенных вопросов в науке.
Одно из объяснений состоит в том, что естественный мир следует законам термодинамики. Второй закон термодинамики гласит, что в замкнутой системе ее энтропия остается постоянной или возрастает. Если Вселенная считается замкнутой системой, ее энтропия (степень беспорядка) никогда не может уменьшиться. Другими словами, время не может вернуться к точному состоянию, в котором оно было в более ранней точке. Эта величина не может двигаться назад.
Замедление или ускорение
Время точно отсчитывают исправные часы. В классической механике оно везде одинаково. Однако из специальной и общей теории относительности Эйнштейна мы знаем, что величина - относительное понятие. Показатель зависит от системы отсчета наблюдателя. Это может привести к субъективному замедлению, когда время между событиями становится длиннее (расширяется), чем ближе одно из них к скорости света.
Движущиеся часы работают медленнее, чем стационарные, причем эффект становится более выраженным, когда движущийся механизм приближается к скорости света. Часы на орбите Земли записывают время медленнее, чем на ее поверхности, частицы мюона распадаются медленнее при падении, а эксперимент Майкельсона-Морли подтвердил сокращение длины и расширение величины.
Параллельная реальность способствует избеганию временного парадокса при путешествии во времени
Временного парадокса при путешествии во времени можно избежать, отправляясь в параллельную реальность. Путешествие означает перемещение вперед или назад в разные моменты, подобно тому, как вы можете перемещаться между разными точками в пространстве. Прыжки вперед во времени происходят в природе. Космонавты на космической станции подвергаются ускорению, когда они возвращаются на Землю и замедляют движение по отношению к станции.
Существующие проблемы
Однако путешествие во времени создает проблемы. Одна из них - причинность, или причинно-следственная связь. Перемещение назад может спровоцировать временной парадокс.
«Парадокс дедушки» - классический пример в науке. Согласно ему, если вы вернетесь назад и убьете своего деда, прежде чем родится ваша мать или отец, вы можете предотвратить свое собственное рождение.
Многие физики считают, что путешествие во времени в прошлое невозможно, но существуют такие решения парадокса, как путешествие между параллельными Вселенными или точками ветвления.
Восприятие физической величины
Старение влияет на восприятие времени, хотя ученые с этим положением не согласны. Человеческий мозг способен отслеживать время. Супрахиазматические ядра мозга - это область, ответственная за ежедневные или циркадные природные ритмы. Нейростимуляторы и наркотики значительно влияют на его восприятие. Химические вещества, которые возбуждают нейроны, заставляют их функционировать быстрее, в то время как снижение работы нейронов замедляет восприятие времени.
В основном, когда вам кажется, что все вокруг ускоряется, мозг продуцирует больше событий в течение определенного интервала. В этом отношении время действительно кажется летящим, когда вы весело проводите время. Но оно, похоже, замедляется во время чрезвычайных ситуаций или опасности.
Ученые из Медицинского колледжа Бейлора в Хьюстоне говорят, что работа мозга фактически не ускоряется, но такая область, как амигдала, становится более активной. Амигдала - это часть мозга, которая отвечает за создание воспоминаний. По мере того как формируется больше воспоминаний, время кажется затянутым.
Тот же феномен объясняет, почему пожилые люди, кажется, воспринимают время в более быстром темпе, чем, когда они были моложе. Психологи полагают, что мозг формирует больше воспоминаний о новых переживаниях, чем о знакомых. Поскольку в поздний период жизни новых воспоминаний все меньше, то время в восприятии пожилого человека, кажется, проходит быстрее.
Начало и конец времени
Все больше ученых склоняется к тому мнению, что наша Вселенная зародилась в результате мощнейшего взрыва определенной условной точки, в которой не отмечалось таких показателей, как масса, время и пространство.
Астроном Стивен Хокинг и его коллега из Кембриджа Нейл Турок предполагают, что изначально была идея, из которой родилось слово. Именно в этих двух понятиях и заключалось время и пространство.
Неизвестно, имеет ли время начало или конец. Что касается Вселенной, то время в ней началось. Начальная точка была 13 799 миллиардов лет назад, когда произошел Большой взрыв. Свидетельством этого процесса является реликтовое излучение в пространстве и положение разбегающихся галактик. В это время и начинают осуществляться переходы от одного уровня природной организации к другому - от ядра к атому, а затем молекуле, из которой и появилась живая материя.
Мы можем измерять космическое фоновое излучение как микроволны от Большого взрыва, но не было отмечено никакого излучения с более ранним происхождением.
Один из аргументов о происхождении времени состоит в том, что если бы оно бесконечно расширялось, то в этом случае ночное небо было бы заполнено светом старых звезд.
Будет ли конец времени?
Ответ на этот вопрос неизвестен. Если Вселенная расширяется вечно, время будет продолжаться. Если произойдет новый Большой взрыв, наша временная линия закончится, и начнется новый отсчет. В экспериментах по физике частиц случайные частицы возникают из вакуума, поэтому кажется, что Вселенная не станет статической или вневременной. Время покажет…
Допустим, мы: – я, Вы и Хроноскопист – летели на самолете через Тихий океан. В пути мы втроем накушались абсента, надебоширили, отломали дверь от туалета, и нас за это выкинули в море через аварийный выход. По счастью, рядом с местом нашего падения обнаружился маленький безымянный полинезийский остров. Выбравшись на берег, мы посовещались и решили считать его новым государством под названием Соединенные Штаты Абсента (США).
Когда нас выкидывали из самолета, то багажа нам, естественно, не выдали.
Поэтому всех материальных и нематериальных активов у нас – только туалетная дверь, которую Вы таки прихватили с собой. И вообще, несмотря на абсент, Вы у нас оказались самым запасливым: в бумажнике у Вас совершенно случайно обнаружилась банкнота в сто долларов. Таким образом, в наших США имеются нефинансовые активы – дверь – и финансовые активы, они же денежная масса – сто долларов. Это все наши сбережения. Поскольку у нас больше вообще ничего нет, то можно сказать и так: у нас есть один материальный актив – дверь, обеспеченный денежной массой в сто долларов. То есть, наша дверь стоит сто долларов.
Немного протрезвев, мы решаем, что надо как-то обустраиваться. Самым быстрым из нас оказался Хроноскопист. Он тут же объявил, что создает банк и готов взять в рост имеющиеся у населения денежные сбережения под 3 процента годовых – ну не сидится человеку без дела. Вы отдаете ему сто долларов, и он их записывает в блокнот в статью «Пассивы – депозиты». Но я тоже не лаптем щи хлебал – зря я, что ли, столько времени занимаюсь расследованием экономического мухлежа – я знаю, как изъять у Вас и дверь, и сто долларов. Я предлагаю Вам взять Ваши сто долларов в рост под 5 процентов годовых. Вырываю листик из своего блокнота и пишу на нем: «Облигация на $100 под 5% годовых». Вы чувствуете, что Вам поперло. Забираете деньги у расстроенного Хроноскописта с депозита и отдаете их мне в обмен на мою облигацию.
Я беру Ваши сто долларов и кладу их на депозит обратно в банк обрадованного Хроноскописта.
По-хорошему, на этом можно было бы и успокоиться и пойти всем заняться делом – пальму потрясти или за моллюсками понырять – снискать себе хлеб насущный, так сказать. Но Вы ж знаете – я неуемный финансовый гений, такие пустяки, как кокосы и устрицы, меня не интересуют. Помыкавшись по нашему острову – пятьдесят шагов от южного побережья до северного и тридцать – с запада на восток, – я придумываю гениальную комбинацию. Я подхожу к Вам и предлагаю на пустом месте заработать еще один процент годовых. Взять в банке Хроноскописта кредит под 4 процента и купить у меня еще одну облигацию под 5 процентов.
Вторую облигацию на сто долларов я тут же выписываю на блокнотном листике и машу ею у Вас перед носом. Недолго думая, Вы бежите в банк и берете кредит сто долларов под залог моей первой облигации на сто долларов. Они там есть – я их туда положил на депозит. Вы отдаете мне заемные сто долларов и прячете вторую облигацию к себе в бумажник – теперь у Вас есть моих облигаций на двести долларов.
А сто долларов я кладу в банк – теперь у меня там двести долларов на депозите. Хроноскопист аж подпрыгивает от радости: кредитный бизнес попер.
Думаете, я на этом остановлюсь? Ага, сейчас – я уже выписал Вам третью облигацию. Бегом в банк за кредитом под залог второй облигации. Ближе к вечеру, набегавшись по острову с этой сотней баксов и изодрав все листочки из блокнота на облигации, мы имеем следующую картину. У Вас на пять тысяч долларов моих облигаций, а у меня – на пять тысяч долларов депозитов в банке. Теперь я чувствую, что пришло время прибрать Вашу дверь к рукам. Я предлагаю купить ее у Вас за сто долларов. Но Вы вредничаете – дверь-то всего одна – и заламываете цену в тысячу долларов. Ну, тысяча долларов так тысяча долларов – в конце концов, у меня на депозите лежит целых пять тысяч долларов. Я на последнем блокнотном листочке направляю платежное поручение Хроноскописту перевести тысячу долларов с моего депозита на Ваш и забираю Вашу дверь.
Если нашу бухгалтерию отдать американскому экономисту с гарвардским дипломом, он сообщит нам, что наши США располагают тысячей долларов материальных активов в виде двери, и десятью тысячами долларов финансовых активов в виде облигаций и депозитов. То есть, что стоимость нашего совокупного имущества увеличилась за день в 110 раз.
Подробно теорема Байеса излагается в отдельной статье . Это замечательная работа, но в ней 15 000 слов. В этом же переводе статьи от Kalid Azad кратко объясняется самая суть теоремы.
- Результаты исследований и испытаний – это не события. Существует метод диагностики рака, а есть само событие - наличие заболевания. Алгоритм проверяет, содержит ли письмо спам, но событие (на почту действительно пришел спам) нужно рассматривать отдельно от результата его работы.
- В результатах испытаний бывают ошибки. Часто наши методы исследований выявляют то, чего нет (ложноположительный результат), и не выявляют то, что есть (ложноотрицательный результат).
- С помощью испытаний мы получаем вероятности определенного исхода. Мы слишком часто рассматриваем результаты испытания сами по себе и не учитываем ошибки метода.
- Ложноположительные результаты искажают картину. Предположим, что вы пытаетесь выявить какой-то очень редкий феномен (1 случай на 1000000). Даже если ваш метод точен, вероятнее всего, его положительный результат будет на самом деле ложноположительным.
- Работать удобнее с натуральными числами. Лучше сказать: 100 из 10000, а не 1%. При таком подходе будет меньше ошибок, особенно при умножении. Допустим, нам нужно дальше работать с этим 1%. Рассуждения в процентах неуклюжи: «в 80% случаев из 1% получили положительный исход». Гораздо легче информация воспринимается так: «в 80 случаях из 100 наблюдали положительный исход».
- Даже в науке любой факт - это всего лишь результат применения какого-либо метода. С философской точки зрения научный эксперимент – это всего лишь испытание с вероятной ошибкой. Есть метод, выявляющий химическое вещество или какой-нибудь феномен, и есть само событие - присутствие этого феномена. Наши методы испытаний могут дать ложный результат, а любое оборудование обладает присущей ему ошибкой.
- Если нам известна вероятность события и вероятность ложноположительных и ложноотрицательных результатов, мы можем исправить ошибки измерений.
- Теорема соотносит вероятность события с вероятностью определенного исхода. Мы можем соотнести Pr(A|X): вероятность события А, если дан исход X, и Pr(X|A): вероятность исхода X, если дано событие А.
Разберемся в методе
В статье, на которую дана ссылка в начале этого эссе, разбирается метод диагностики (маммограмма), выявляющий рак груди. Рассмотрим этот метод подробно.- 1% всех женщин болеют раком груди (и, соответственно, 99% не болеют)
- 80% маммограмм выявляют заболевание, когда оно действительно есть (и, соответственно, 20% не выявляют)
- 9,6% исследований выявляют рак, когда его нет (и, соответственно, 90,4% верно определяют отрицательный результат)
Как работать с этим данными?
- 1% женщин болеют раком груди
- если у пациентки выявили заболевание, смотрим в первую колонку: есть 80% вероятность того, что метод дал верный результат, и 20% вероятность того, что результат исследования неправильный (ложноотрицательный)
- если у пациентки заболевание не выявили, смотрим на вторую колонку. С вероятностью 9,6% можно сказать, что положительный результат исследования неверен, и с 90,4% вероятностью можно сказать, что пациентка действительно здорова.
Насколько метод точен?
Теперь разберем положительный результат теста. Какова вероятность того, что человек действительно болен: 80%, 90%, 1%?Давайте подумаем:
- Есть положительный результат. Разберем все возможные исходы: полученный результат может быть как истинным положительным, так и ложноположительным.
- Вероятность истинного положительного результата равна: вероятность заболеть, умноженная на вероятность того, что тест действительно выявил заболевание. 1% * 80% = .008
- Вероятность ложноположительного результата равна: вероятность того, что заболевания нет, умноженная на вероятность того, что метод выявил заболевание неверно. 99% * 9.6% = .09504
Какова вероятность, что человек действительно болен, если получен положительный результат маммограммы? Вероятность события - это отношение количества возможных исходов события к общему количеству всех возможных исходов.
Вероятность события = исходы события / все возможные исходы
Вероятность истинного положительного результата – .008. Вероятность положительного результата - это вероятность истинного положительного исхода + вероятность ложноположительного.
(.008 + 0.09504 = .10304)
Итак, вероятность заболевания при положительном результате исследования рассчитывается так: .008/.10304 = 0.0776. Эта величина составляет около 7.8%.
То есть положительный результат маммограммы значит только то, что вероятность наличия заболевания – 7,8%, а не 80% (последняя величина - это лишь предполагаемая точность метода). Такой результат кажется поначалу непонятным и странным, но нужно учесть: метод дает ложноположительный результат в 9,6% случаев (а это довольно много), поэтому в выборке будет много ложноположительных результатов. Для редкого заболевания большинство положительных результатов будут ложноположительными.
Давайте пробежимся глазами по таблице и попробуем интуитивно ухватить смысл теоремы. Если у нас есть 100 человек, только у одного из них есть заболевание (1%). У этого человека с 80% вероятностью метод даст положительный результат. Из оставшихся 99% у 10% будут положительные результаты, что дает нам, грубо говоря, 10 ложноположительных исходов из 100. Если мы рассмотрим все положительные результаты, то только 1 из 11 будет верным. Таким образом, если получен положительный результат, вероятность заболевания составляет 1/11.
Выше мы посчитали, что эта вероятность равна 7,8%, т.е. число на самом деле ближе к 1/13, однако здесь с помощью простого рассуждения нам удалось найти приблизительную оценку без калькулятора.
Теорема Байеса
Теперь опишем ход наших мыслей формулой, которая и называется теоремой Байеса. Эта теорема позволяет исправить результаты исследования в соответствии с искажением, которое вносят ложноположительные результаты:- Pr(A|X) = вероятность заболевания (А) при положительном результате (X). Это как раз то, что мы хотим знать: какова вероятность события в случае положительного исхода. В нашем примере она равна 7,8%.
- Pr(X|A) = вероятность положительного результата (X) в случае, когда больной действительно болен (А). В нашем случае это величина истинных положительных – 80%
- Pr(A) = вероятность заболеть (1%)
- Pr(not A) = вероятность не заболеть (99%)
- Pr(X|not A) = вероятность положительного исхода исследования в случае, если заболевания нет. Это величина ложноположительных – 9,6 %.
Pr(X) – это константа нормализации. Она сослужила нам хорошую службу: без нее положительный исход испытаний дал бы нам 80% вероятность события.
Pr(X) – это вероятность любого положительного результата, будет ли это настоящий положительный результат при исследовании больных (1%) или ложноположительный при исследовании здоровых людей (99%).
В нашем примере Pr(X) – довольно большое число, потому что велика вероятность ложноположительных результатов.
Pr(X) создает результат 7,8%, который на первый взгляд кажется противоречащим здравому смыслу.
Смысл теоремы
Мы проводим испытания, чтоб выяснить истинное положение вещей. Если наши испытания совершенны и точны, тогда вероятности испытаний и вероятности событий совпадут. Все положительные результаты будут действительно положительными, а отрицательные - отрицательными. Но мы живем в реальном мире. И в нашем мире испытания дают неверные результаты. Теорема Байеса учитывает искаженные результаты, исправляет ошибки, воссоздает генеральную совокупность и находит вероятность истинного положительного результата.Спам-фильтр
Теорема Байеса удачно применяется в спам-фильтрах.У нас есть:
- событие А - в письме спам
- результат испытания - содержание в письме определенных слов:
Фильтр берет в расчет результаты испытаний (содержание в письме определенных слов) и предсказывает, содержит ли письмо спам. Всем понятно, что, например, слово «виагра» чаще встречается в спаме, чем в обычных письмах.
Фильтр спама на основе черного списка обладает недостатками - он часто выдает ложноположительные результаты.
Спам-фильтр на основе теоремы Байеса использует взвешенный и разумный подход: он работает с вероятностями. Когда мы анализируем слова в письме, мы можем рассчитать вероятность того, что письмо - это спам, а не принимать решения по типу «да/нет». Если вероятность того, что письмо содержит спам, равна 99%, то письмо и вправду является таковым.
Со временем фильтр тренируется на все большей выборке и обновляет вероятности. Так, продвинутые фильтры, созданные на основе теоремы Байеса, проверяют множество слов подряд и используют их в качестве данных.
Дополнительные источники:
Теги: Добавить метки