Определяемый формулой $a{{x}^{2}}+bx+c$ $(a\ne 0).$ Числа $a, b$ и $c$ - коэффициенты квадратного трехчлена, они обычно называются: a - старший, b - второй или средний коэффициент, c - свободный член. Функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной функцией.
У всех этих парабол вершина находится в начале координат; при a > 0 это наинизшая точка графика (наименьшее значение функции), а при a < 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.
Как видно, при a > 0 парабола направлена вверх, при a < 0 - вниз.
Существует простой и удобный графический способ, позволяющий строить любое число точек параболы y = ax 2 без вычислений, если известна точка параболы, отличная от вершины. Пусть точка M(x 0 , y 0) лежит на параболе y = ax 2 (рис. 2). Если мы хотим построить между точками O и M дополнительно еще n точек, то делим отрезок ON оси абсцисс на n + 1 равных частей и в точках деления проводим перпендикуляры к оси Ox. На столько же равных частей делим отрезок NM и точки деления соединяем лучами с началом координат. Искомые точки параболы лежат на пересечении перпендикуляров и лучей с одинаковыми номерами (на рис. 2 число точек деления равно 9).
График функции y =ax 2 + bx + c отличается от графика y = ax 2 лишь своим положением и может быть получен просто перемещением кривой на чертеже. Это следует из представления квадратного трехчлена в виде
откуда легко заключить, что график функции y = ax 2 + bx + c есть парабола y = ax 2 , вершина которой перенесена в точку
а ось её симметрии осталась параллельной оси Oy (рис. 3). Из полученного выражения для квадратного трехчлена легко следуют все его основные свойства. Выражение D = b 2 − 4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax 2 + bx + c и дискриминантом связанного с ним квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. От знака дискриминанта зависит, пересекает ли график квадратного трехчлена ось абсцисс или лежит по одну сторону от нее. Именно, если D < 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a > 0, то парабола лежит выше оси Ox, а если a < 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D > 0 график квадратного трехчлена пересекает ось абсцисс в двух точках x 1 и x 2 , которые являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 и равны соответственно
При D = 0 парабола касается оси Ox в точке
Свойства квадратного трехчлена лежат в основе решения квадратных неравенств. Поясним это на примере. Пусть требуется найти все решения неравенства 3x 2 - 2x - 1 < 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D > 0, то соответствующее квадратное уравнение 3x 2 − 2x − 1 = 0 имеет два различных корня, они определяются по формулам, приведенным ранее:
x 1 = −1/3 и x 2 = 1.
В рассматриваемом квадратном трехчлене a = 3 > 0, значит, ветви его графика направлены вверх и значения квадратного трехчлена отрицательны лишь в интервале между корнями. Итак, все решения неравенства удовлетворяют условию
−1/3 < x < 1.
К квадратным неравенствам могут быть сведены разнообразные неравенства теми же самыми заменами, какими различные уравнения сводятся к квадратному.