(иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ . Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:
- Записать три матрицы: матрицу системы $A$, матрицу неизвестных $X$, матрицу свободных членов $B$.
- Найти обратную матрицу $A^{-1}$.
- Используя равенство $X=A^{-1}\cdot B$ получить решение заданной СЛАУ.
Любую СЛАУ можно записать в матричной форме как $A\cdot X=B$, где $A$ - матрица системы, $B$ - матрица свободных членов, $X$ - матрица неизвестных. Пусть матрица $A^{-1}$ существует. Умножим обе части равенства $A\cdot X=B$ на матрицу $A^{-1}$ слева:
$$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$
Так как $A^{-1}\cdot A=E$ ($E$ - единичная матрица), то записанное выше равенство станет таким:
$$E\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$
Так как $E\cdot X=X$, то:
$$X=A^{-1}\cdot B.$$
Пример №1
Решить СЛАУ $ \left \{ \begin{aligned} & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end{aligned} \right.$ с помощью обратной матрицы.
$$ A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right). $$
Найдём обратную матрицу к матрице системы, т.е. вычислим $A^{-1}$. В примере №2
$$ A^{-1}=-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right). $$
Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$. Затем выполним умножение матриц
$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right)=\\ =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (-11) \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 309\\ -206 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right). $$
Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Ответ : $x_1=-3$, $x_2=2$.
Пример №2
Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end{aligned}\right.$ методом обратной матрицы.
Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.
$$ A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right). $$
Теперь настал черёд найти обратную матрицу к матрице системы, т.е. найти $A^{-1}$. В примере №3 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^{-1}$:
$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$
Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$, после чего выполним умножение матриц в правой части данного равенства.
$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)= \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right)=\\ =\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0+1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end{array}\right)=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 0\\-104\\234\end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right) $$
Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.
Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.
Матричный метод решения - метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.
Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A -1 · B , где A -1 - обратная матрица.
Матричный метод решения состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными:
Её можно переписать в матричной форме: AX = B , где A - основная матрица системы, B и X - столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим это матричное уравнение слева на A -1 - матрицу, обратную к матрице A : A -1 (AX ) = A -1 B
Так как A -1 A = E , получаем X = A -1 B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A : detA ≠ 0.
Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0 , действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.
Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .
Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.
Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.
Матричный способ решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений следующего вида:
$\left\{\begin{array}{c} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2} } \\ {...} \\ {a_{n1} x_{1} +a_{n2} x_{2} +...+a_{nn} x_{n} =b_{n} } \end{array}\right. .$
Числа $a_{ij} (i=1..n,j=1..n)$ - коэффициенты системы, числа $b_{i} (i=1..n)$ - свободные члены.
Определение 1
В случае, когда все свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае - неоднородной.
Каждой СЛАУ можно поставить в соответствие несколько матриц и записать систему в так называемом матричном виде.
Определение 2
Матрица коэффициентов системы называется матрицей системы и обозначается, как правило, буквой $A$.
Столбец свободных членов образует вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $B$ и называется матрицей свободных членов.
Неизвестные переменные образуют вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $X$ и называется матрицей неизвестных.
Описанные выше матрицы имеют вид:
$A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {...} & {a_{2n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {...} & {a_{nn} } \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {...} \\ {b_{n} } \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {...} \\ {x_{n} } \end{array}\right).$
Используя матрицы, СЛАУ можно переписать в виде $A\cdot X=B$. Такую запись часто называют матричным уравнением.
Вообще говоря, в матричном виде записать можно любую СЛАУ.
Примеры решения системы с помощью обратной матрицы
Пример 1
Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {3x_{1} -2x_{2} +x_{3} -x_{4} =3} \\ {x_{1} -12x_{2} -x_{3} -x_{4} =7} \\ {2x_{1} -3x_{2} +x_{3} -3x_{4} =5} \end{array}\right. $. Записать систему в матричном виде.
Решение:
$A=\left(\begin{array}{cccc} {3} & {-2} & {1} & {-1} \\ {1} & {-12} & {-1} & {-1} \\ {2} & {-3} & {1} & {-3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \\ {5} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right).$
$\left(\begin{array}{cccc} {3} & {-2} & {1} & {-1} \\ {1} & {-12} & {-1} & {-1} \\ {2} & {-3} & {1} & {-3} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \\ {5} \end{array}\right)$
В случае, когда матрица системы является квадратной, СЛАУ можно решить уравнения матричным способом.
Имея матричное уравнение $A\cdot X=B$, можно выразить из него $X$ следующим способом:
$A^{-1} \cdot A\cdot X=A^{-1} \cdot B$
$A^{-1} \cdot A=E$ (свойство произведения матриц)
$E\cdot X=A^{-1} \cdot B$
$E\cdot X=X$ (свойство произведения матриц)
$X=A^{-1} \cdot B$
Алгоритм решения системы алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы:
- записать систему в матричном виде;
- вычислить определитель матрицы системы;
- если определитель матрицы системы отличен от нуля, то находим обратную матрицу;
- решение системы вычисляем по формуле $X=A^{-1} \cdot B$.
Если матрица системы имеет определитель, не равный нулю, то данная система имеет единственное решение, которое можно найти матричным способом.
Если матрица системы имеет определитель, равный нулю, то данную систему нельзя решить матричным способом.
Пример 2
Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.
Решение:
$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right). $
Нахождение определителя матрицы системы:
$\begin{array}{l} {\det A=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0} \end{array}$ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. Полученное решение будет единственным.
Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:
$A_{11} =(-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=0-2=-2; A_{12} =(-1)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=-(0-3)=3;$
$A_{13} =(-1)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-2-6=-8; A_{21} =(-1)^{2+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=-(0-6)=6; $
$A_{22} =(-1)^{2+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=0-9=-9; A_{23} =(-1)^{2+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-(2-0)=-2;$
$A_{31} =(-1)^{3+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {1} \end{array}\right|=0-6=-6; A_{32} =(-1)^{3+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-1} & {1} \end{array}\right|=-(1+3)=-4;$
$A_{33} =(-1)^{3+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {-1} & {2} \end{array}\right|=2-0=2$
Искомая обратная матрица:
$A^{-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$
Найдем решение системы:
$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$
$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ - искомое решение системы уравнений.
В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.
А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .
метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .
Корни уравнения находим по формулам:
,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений 
Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.
Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.
;
;
Ответ : ,
Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8
Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, 
, 
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9
Решить систему по формулам Крамера. 
Решение
: Решим систему по формулам Крамера.
, значит, система имеет единственное решение.
Ответ
: 
.
Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.
Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:
1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).
2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.
Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.
Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.
Пример 10
Решить систему по формулам Крамера. 
Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.
Решение системы с помощью обратной матрицы
Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.
Пример 11
Решить систему с матричным методом 
Решение
: Запишем систему в матричной форме:
, где 
Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Сначала разбираемся с определителем:
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров 
Справка:
Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы 
, которую назовём матрицей
системы
.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.
Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .
Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .
Рассмотрим способы нахождения решений системы.
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим
матрицу системы 
и матрицы столбцы
неизвестных и свободных членов 
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A
∙X=B
.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .
Примеры. Решить системы уравнений.
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы .
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что 
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Примеры. Решить систему уравнений
МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .
При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.
Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:
и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
- перестановка строк или столбцов;
- умножение строки на число, отличное от нуля;
- прибавление к одной строке другие строки.
Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.
Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.