Как решать тригонометрические уравнения с промежутками. Нахождение корней уравнения, принадлежащие отрезку

27. Отберём корни на заданном отрезке

28. 10. Решить уравнение 2sin2x =4cos x –sinx+1 Найти его корни на промежутке [/2; 3/2]

29. Отберём корни с помощью окружности

Задача №1

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

То мы бы записали вот такой ответ:

Или (так как)

Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:

Тогда можно записать:

Наша с тобою цель - сделать так, чтобы слева стоял просто, без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при: для этого домножим наше равенство на:

Теперь избавимся от, разделив на него обе части:

Теперь избавимся от восьмёрки:

Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать.

Рассмотрим вначале первую серию:

Ясно, что если мы будем брать то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют.

Значит нужно брать отрицательным. Пусть.

При корень будет уже:

А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен.

Теперь рассматриваем вторую серию:

И опять подставляем: , тогда:

Не интересует!

Тогда увеличивать больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть, тогда:

Подходит!

Пусть. Тогда

Тогда - наибольший отрицательный корень!

Ответ:

Задача №2

Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

Теперь снова выражаем слева:

Умножаем обе стороны на

Делим обе стороны на

Всё, что осталось - это перенести вправо, изменив её знак с минуса на плюс.

У нас опять получается 2 серии корней, одна с, а другая с.

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:

Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при, он будет равен и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии.

Для второй серии

Первый отрицательный корень будет получен также при и будет равен. Так как, то - наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: .

Задача №3

Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

Как и раньше, выражаем в левой части:

Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.

Ясно, что он получается, если положить. И корень этот равен.

Ответ:

Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.

1. Ре-ши-те урав-не-ние.
   
2. Ре-ши-те урав-не-ние.
   В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.
3. Ре-ши-те урав-не-ние.
   В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!

Сверься с решениями и ответами:

Задача №1

Выразим

Наименьший положительный корень получится, если положить, так как, то

Ответ:

Задача №2

Наименьший положительный корень получится при.

Он будет равен.

Ответ: .

Задача №3

При получаем, при имеем.

Ответ: .

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

1. Тригонометрические уравнения для начального уровня (см выше).

Более сложные тригонометрические уравнения - это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

1. Решение уравнения
2. Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать - это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.

Четыре категории задач повышенной сложности (ранее С1)

1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
2. Уравнения, сводящиеся к виду.
3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов , то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

Если же тебе попалось уравнение 4 типа , то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения и синуса двойного угла

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на, получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

Первое уравнение имеет корни:

А второе:

На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:

Промежуток вот такой:

Или его еще можно записать вот так:

Ну что, давай отбирать корни:

Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

Так как наш промежуток - целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные, все равно они дадут неотрицательные корни.

Возьмем, тогда - многовато, не попадает.

Пусть, тогда - снова не попал.

Еще одна попытка - , тогда - есть, попал! Первый корень найден!

Стреляю еще раз: , тогда - еще раз попал!

Ну и еще разок: : - это уже перелет.

Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .

Работаем со второй серией (возводим в степень по правилу):

Недолет!

Снова недолет!

Опять недолет!

Попал!

Перелет!

Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

Пример 2. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения

• Решите уравнение

Решение:

Опять пресловутые формулы приведения:

Опять не вздумай сокращать!

Первое уравнение имеет корни:

А второе:

Теперь снова поиск корней.

Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие:

Теперь первая серия и она попроще:

Если - подходит

Если - тоже годится

Если - уже перелет.

Тогда корни будут следующие:

Самостоятельная работа. 3 уравнения.

Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

1. Решите уравнение
   Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие промежутку.
2. Ре-ши-те урав-не-ние
   Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку
3. Ре-ши-те урав-не-ние
   Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Уравнение 1.

И снова формула приведения:

Первая серия корней:

Вторая серия корней:

Начинаем отбор для промежутка

Ответ: , .

Уравнение 2. Проверка самостоятельной работы.

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

тогда или

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса - вот такая досада!

Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как, то.

Составим таблицу: промежуток:

Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi

Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

Сократим на 2:

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать...

Уравнения вида:

Данное уравнение решается делением обеих частей на:

Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: .

Опять построим табличку, как я делал и ранее:

Ответ: .

Уравнения, сводящиеся к виду:

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

Решается делением обеих частей на косинус:

1. Ре-ши-те урав-не-ние
   Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
2. Ре-ши-те урав-не-ние
   Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Пример 1.

Первое - ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на

Делаем отсев корней:

Промежуток:

Ответ:

Пример 2.

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

Основное тригонометрическое тождество:

Синус двойного угла:

Окончательно получим:

Отсев корней: промежуток.

Ответ: .

Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример , чтобы ты мог поупражняться:

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Давай сверяться:

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на:

Отсев корней:

Ответ: .

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Решение тригонометрических уравнений заменой переменной

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

Пример.

• Решить уравнение: .
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

Первое уравнение имеет корни:

А второе вот такие:

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку

Ответ: .

Давай вместе разберем чуть более сложный пример :

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Ука-жи-те корни дан-но-го урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

А заодно и

Тогда мое уравнение примет вид:

А теперь внимание, фокус:

Давай разделим обе части уравнения на:

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно! Сделаем замену, тогда получим:

Уравнение имеет следующие корни:

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке.

Нам также нужно учитывать, что

Так как и, то

Ответ:

Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение :

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

Теперь я могу перейти к уравнению:

Но при (то есть при).

Теперь все готово для замены:

Тогда или

Однако обрати внимание, что если, то при этом!

Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

Таким образом, корни уравнения следующие:

Теперь производим отсев корней на промежутке:

Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке, и он равен.

Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного - самостоятельно решить две задачи. Вот они.

1. Решите уравнение
   Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
2. Ре-ши-те урав-не-ние
   Ука-жи-те корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

1. Работаем по формулам приведения:

   Подставляем в уравнение:

   Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:

   Теперь легко сделать замену:

   Ясно, что - посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда:

   Ищем нужные нам корни на промежутке

   Ответ: .

2. 
   Здесь замена видна сразу:

   Тогда или

   	- подходит!	- подходит!
   	- подходит!	- подходит!
   	- много!	- тоже много!

   Ответ:

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным . Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

Пример 1.

Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку.

Решение:

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение - это все равно, что решить систему

Решим каждое из уравнений:

А теперь второе:

Теперь давай посмотрим на серию:

Ясно, что нам не подходит вариант, так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

Если же - то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , .

Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку.

Тогда корни следующие:

Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.

Пример 2.

Решите уравнение:

Решение:

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

Решение этого неравенства:

Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство.

Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить. Тогда ответ можно записать в следующем виде:

Ответ:

Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

Пример 3.

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

Теперь второе уравнение:

Теперь самое сложное - выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

Число надо понимать как радианы. Так как радиана - это примерно градусов, то радианы - порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:

Оно меньше нуля!

А значит - не является корнем уравнения.

Теперь черед.

Сравним это число с нулем.

Котангенс - функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы - это примерно градусов. В то же время

так как, то, а значит и
,

Ответ: .

Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения - снова тригонометрическая функция.

Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

Пример 4.

Корень не годится, ввиду ограниченности косинуса

Теперь второе:

В то же время по определению корня:

Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия - ей диаметрально противоположная - и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

Ответ: ,

И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью» . Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

Пример 5.

Ну, ничего не поделаешь - поступаем как и раньше.

Теперь работаем со знаменателем:

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

Если - четное, то имеем:

так как, то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство

Если же -нечетное, то:

В какой четверти лежит угол? Это угол второй четверти. Тогда все углы - снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

Подходит!

Точно так же разбираемся со второй серией корней:

Подставляем в наше неравенство:

Если - четное, то

Углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если - нечетное, то:

тоже подходит!

Ну вот, теперь записываем ответ!

Ответ:

Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.

Тренировка

1. Решите и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку.

Решения:

1. 
   Первое уравнение:
   или
   ОДЗ корня:

   Второе уравнение:

   Отбор корней, которые принадлежат промежутку

   Ответ:

Или
или
Но

Рассмотрим: . Если - четное, то
- не подходит!
Если - нечетное, : - подходит!
Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
или
Отбор корней на промежутке:

	- не подходит	- подходит
	- подходит	- много
	- подходит	много

Ответ: , .

Или
Так как, то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!

Вторая часть:

В то же время по ОДЗ требуется, чтобы

Проверяем найденные в первом уравнении корни:

Если знак:

Углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
Если знак:

Угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

Ответ: , .

Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Тригонометрическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ - с использованием формул.

Второй способ - через тригонометрическую окружность.

Позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

а) Решите уравнение: .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение задачи

В данном уроке рассматривается пример решения тригонометрического уравнения, который можно использовать в качестве примера для решения задач типа С1 при подготовке к ЕГЭ по математике.

Прежде всего, определяется область определения функции – все допустимые значения аргумента . Затем, в ходе решения выполняется преобразование тригонометрической функции синуса в косинус с применением формулы приведения. Далее все члены уравнения переносятся в его левую часть, где производится вынесение за скобки общего множителя. Каждый множитель приравнивается к нулю, что и позволяет определить корни уравнения. Затем методом витков определяются корни, принадлежащие заданному отрезку. Для этого на построенной единичной окружности отмечается виток от левой границы заданного отрезка к правой. Далее найденные корни на единичной окружности соединяются отрезками с ее центром и определяются точки, в которых эти отрезки пересекают виток. Данные точки пересечения и являются искомым ответом на вторую часть задачи.