При выполнении некоторых специальных навигационных задач проекция Меркатора, имеющая основными координатными линиями меридианы и параллели, оказывается недостаточно удобной. Так, например, чтобы вычислить географические координаты какой-либо точки для нанесения ее на карту, приходится прибегать к трудоемким и сложным формулам, затрачивая на вычисление много времени. Значительно проще такого рода задачи решаются с использованием прямоугольных координат вместо географических. Замена географических координат прямоугольными позволяет производить расчеты по несложным формулам плоской тригонометрии. Непрерывное изменение масштаба на карте в проекции Меркатора также представляет известное неудобство, так как пределы полосы с практически постоянным масштабом весьма ограничены. На практике нередко бывает удобнее иметь карту с незначительными искажениями длин и площадей, а также с масштабом, который можно практически принимать постоянным в пределах всего листа карты. Так, при выполнении ряда работ, требующих высокой точности, целесообразно применять проекцию, на плоскости которой изображение строится как план, где измеренные углы и расстояния переносятся на планшет без исправления поправками за искажение проекции. Для обеспечения этого требования проекция должна иметь малые искажения длин, не превышающие ошибок графических построений на планшете (0,2 мм). Измеренным на местности сферическим углам должны соответствовать на карте плоские углы с ничтожно малыми их искажениями.
Таким образом, основным требованием, предъявляемым к проекции, используемой для составления топографических карг, различных планшетов и для обработки триангуляции, является небольшая величина искажений углов и длин и простота их учета. Такой проекцией является картографическая проекция, предложенная в начале XIX в. известным немецким ученым Гауссом. Проекция Гаусса по свойству изображения является равноугольной, а по способу построения картографической сетки -- поперечной цилиндрической проекцией эллипсоида. Принципиально проекция/Гаусса может быть также получена путем проектирования шара, представляющего равноугольную проекцию эллипсоида, на боковую поверхность касательного цилиндра, ось которого лежит в плоскости экватора.
Нормальной системой координат проекции Гаусса, является система сферических (сфероидических) прямоугольных координат X, У, экватором которой служит средний меридиан картографируемой зоны, а начальным меридианом -- земной экватор.
Средний меридиан, выполняющий роль экватора нормальной системы координат проекции Гаусса, называется осевым меридианом. Картографическая проекция Гаусса постановлением Геодезического комитета Госплана СССР в 1928 г. принята основной для выполнения топографических и триангуляционных работ. Этим же постановлением для всей территории СССР введена единая система прямоугольных координат.
Известна также как Поперечная проекция Меркатора, эта проекция подобна проекции Меркатора, но в данном случае цилиндр разворачивается не вокруг экватора, а вокруг одного из меридианов. Результатом является равноугольная проекция, которая не сохраняет правильные направления. Центральный меридиан находится в регионе, который может быть выбран. По центральному меридиану искажения всех свойств объектов региона – минимальные. Эта проекция наиболее подходит для картографирования территорий, протяженных с севера на юг. Система координат Гаусса-Крюгера основывается на проекции Гаусса-Крюгера.
Метод проецирования
Поперечная цилиндрическая проекция с центральным меридианом, расположенным в конкретном регионе. В системе координат Гаусса-Крюгера поверхность Земли разделена на 60 зон шириной шесть градусов, и центральный меридиан первой зоны – 177° ЗД. Проецирование осуществляется в каждой зоне отдельно на цилиндр, ось которого поворачивается в плоскости экватора на 6 градусов от зоны к зоне. Коэффициент масштаба равен 1,000, а не 0,9996, в отличие от UTM. В некоторых странах к 500 000-метровому сдвигу по Y прибавляется число, которое равно номеру зоны. Зона 5 системы координат Гаусса-Крюгера может иметь значения сдвига по оси X – 500 000 метров или 5 500 000 метров.
Линии контакта
Любой меридиан для касательной проекции. (Гаусса-Крюгера). Две линии на одинаковом расстоянии от центрального меридиана для секущей проекции (Поперечной проекции Меркатора).
Линейные элементы картографической сетки
Экватор и центральный меридиан зоны.
Свойства
Shape
Равноугольная. Сохраняются малые формы. Искажение формы больших территорий увеличивается при удалении от центрального меридиана.
Область
Искажение возрастает по мере удаления от центрального меридиана.
Направление
Локальные углы точны везде.
Расстояние (Distance)
Точный масштаб вдоль центрального меридиана, если масштабный коэффициент равен 1,0. Если он меньше 1,0, то точный масштаб сохраняется на прямых линиях, расположенных на равных расстояниях по обе стороны от центрального меридиана.
Ограничения
Объекты сфероида или эллипсоида не могут быть спроецированы за пределы 90° от центрального меридиана. Фактически протяженность сфероида или эллипсоида должна быть в пределах 10-12 градусов по обе стороны от центрального меридиана. За пределами этого диапазона, спроецированные данные могут не проецироваться в ту же самую позицию при обратной операции. Для данных на сфере этих ограничений не существует.
Новое проекция, называемая Поперечная Меркатора комплексная (Transverse_Mercator_complex), добавлена в механизм проецирования в ArcGIS. Это обеспечивает точное прямое и обратное преобразование UTM до 80 градусов от центрального меридиана. Привлечение комплексного математического метода делает это преобразование предпочтительным.
Области использования
Система координат Гаусса-Крюгера. Топографическое картографирование в СССР и России в масштабах от 1:10 000 до 1:500 000 всей поверхности Земли. В этой системе Земной шар делится на зоны шириной по шесть градусов. Коэффициент масштаба равен 1, сдвиг по оси X равен 500 000 метров и южное полушарие также имеет сдвиг по оси Y – 10000000 метров. Центральный меридиан зоны 1 – 177° ЗД. В некоторых странах добавляют номер зоны в величину сдвига на восток 500 000 метров. В пятой зоне в ГК сдвиг по оси Х равен 500000 или 5500000 метров. Также существуют 3-х градусные зоны Гаусса-Крюгера, используемые для съемок в масштабе 1:5 000 и крупнее.
Система UTM подобна системе Гаусса-Крюгера. Коэффициент масштаба равен 0,9996 и центральный меридиан первой UTM-зоны – 177 градусов ЗД. Сдвиг по оси X равен 500 000 метров и южное полушарие также имеет сдвиг по оси Y – 10000000 метров.
Система координат в равноугольной проекции, которую теперь называют проекцией Гаусса - Крюгера, была введена выдающимся немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом для работки ганноверской триангуляции (1821 -1825). В 1912 и 1919 гг. ее развил немецкий геодезист Л. Крюгер. С тех пор она стала называться проекцией Гаусса-Крюгера.
Проекция Гаусса - Крюгера не имеет геометрической интерпретации. Она получена аналитически путем разложения комплексной функции от изометрических координат в степенной ряд. Проекция Гаусса - Крюгера определяется тремя условиями: она равноугольная, сохраняет длины на среднем меридиане и симметрична относительно среднего меридиана и экватора. По составу она является поперечной цилиндрической проекцией. Цилиндр касается среднего меридиана зоны, и на этот цилиндр проектируется вся зона при соблюдении перечисленных выше трех условий.
В проекции Гаусса-Крюгера поверхность земного эллипсоида делится на трёх- или шестиградусные зоны, ограниченные меридианами от полюса до полюса. Всего 60 шестиградусных или 120 трёхградусных зон. Они нумеруются с запада на восток, начиная с нулевого меридиана, так, что к меридиану Гринвича с запада примыкает 60-я (120-я) зона, а с востока - 1-я зона. В каждой зоне строится своя прямоугольная система координат. Начало координат каждой зоны находится в точке пересечения экватора со средним (осевым) меридианом зоны, который изображается на проекции прямой линией и является осью абсцисс. Абсциссы считаются положительными к северу от экватора и отрицательными к югу. Осью ординат является экватор. Ординаты положительны к востоку и отрицательны к западу от осевого меридиана. При вычислениях начало координат переносят в точку пересечения осевого меридиана со средней параллельностью карты. Для получения ординат положительного значения их увеличивают на 500000 м. Перед ординатой пишется номер зоны.
Такой выбор координатных осей позволяет, во-первых, наряду с прямоугольной системой координат использовать полярную систему координат, сохраняя в силе весь математический аппарат, где обычно ось X ориентирована направо (на восток), а ось Y - вверх (на север), и, во-вторых, сохранять у людей привычку ориентироваться относительно направления на север.
В проекции Гаусса-Крюгера масштаб изображения вдоль осевого меридиана mo сохраняется и равен 1. Это видно из формулы (1)
|
где Х - длина дуги меридиана от начала прямоугольных координат до данной точки
φ - широта точки
λ - долгота точки
Л. Крюгер предложил умножить координаты х, у на некоторый множитель < 1 для того, чтобы искажения длин на краях зоны уменьшить в два раза. Это реализовано в проекции UTM, используемой в США, в которой на осевом меридиане частный масштаб длин m0 = 0,9996, в результате чего в проекции образуются две параллельные линии нулевых искажений, расположенные на расстоянии около 180 км по обе стороны от него. На границе зон в южных широтах частный масштаб длин приблизительно равен 1,0003.
В России для топографических карт масштаба 1: 1000000 применяют шестиградусные зоны. Неудобства возникают на стыке двух соседних зон. На топографических картах западной зоны одна система координат, а на соседних листах карт восточной зоны -другая. Поэтому на стыках зон предусмотрены перекрытия: западная зона расширена на восток, а восточная - на запад. Этим предоставляется возможность на стыке зон пользоваться картами в системе координат только одной зоны. Перекрытия смежных зон до широты 28° охватывают полосу шириной по долготе на 1°, на широтах от 28° до 76° - на 2° и на широтах более 76° - на 3°.
Для топографических планов масштаба 1: 5000 и 1: 2000 применяются трехградусные зоны, осевые меридианы которых совпадают с осевыми и граничными меридианами шестиградусных зон. При съемках городов и территорий под строительство крупных инженерных сооружений могут быть использованы частные зоны с осевым меридианом посередине объекта.
Таким образом, представляется аргументированным вывод, что проекция Гаусса-Крюгера имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, она объединяет такие положительные качества, как небольшое число зон, каждая из которых охватывает значительную территорию, ограниченную двумя меридианами с разностью долгот в 3° или 6°; умеренное и легко учитываемое изменение масштабов в пределах зон; единообразие всех зон; универсальность и глобальность координатных систем. С другой стороны, проекция Гаусса-Крюгера имеет и значительные недостатки. К ним, прежде всего, относятся отсутствие единой системы координат, вследствие чего при моделировании объектов, расположенных в нескольких зонах, возникают определенные проблемы, а также высокие искажения на краях зон.
Рассмотрим эту проекцию на шаре. Для этого введём систему сферических координат , как это показано на рис. 5.9.
За начало координат принимается точка А , лежащая в пересечении экватора с меридианом P 1 AP , принимаемого за начальный в данной системе. Будем называть его осевым меридианом.
В новой системе координат за условный экватор принимается осевой меридиан, а за условные полюса точки Q и Q 1 лежащие на экваторе и отстоящий от начала координат A на 90° по долготе. Положение точки M в этой системе координат определяется дугой осевого меридиана и дугой большого круга .
Зависимости между координатами , и координатами , выражается формулами сферической тригонометрии.
(5.25)
где - долгота осевого меридиана.
Возьмём теперь цилиндр, касательный к шару по осевому меридиану (рис.5.10) и перенесём на него условные меридианы Q 1 AA 1 A 2 Q, Q 1 aa 1 a 2 Q, Q 1 bb 1 b 2 Q… и условные параллели - дуги малых кругов, параллельных плоскости меридиана – A 1 a 1 b 1 c 1 , A 2 a 2 b 2 c 2 так как мы это делаем в нормальной равноугольной проекции Меркатора (см.5.4).
За ось x примем осевой меридиан . За ось у - экватор Q,AQ (рис.5.10). Уравнения прямоугольных координат в этой проекции получим, если в выражениях (5.11) и (5.12) заменим на , а координаты и на и соответственно. В результате имеем
(5.26)
Так как проекция равноугольная, увеличение по осям и будет
а эллипсы искажений - окружности радиусом .
Из (5.27) следует, что искажение расстояний и площадей возрастает по мере удаления точки от осевого меридиана.
Чтобы эти искажения как-то ограничить, применение данной проекции ограниченно шестиградусными зонами. В каждой зоне имеется своя система прямоугольных координат , . При этом долгота осевого меридиана в каждой зоне определяет формула
где n =1,2, 3,...60 - номер зоны.
В пределах зоны величина достаточно мала. Поэтому вместо сферической ординаты удобней использовать её линейное значение. Для этого разложим в (5.27) в ряд, ограничиваясь двумя членами
.
Заменив его линейным значением , получим известную формулу
. (5.28)
В Украине искажения длин линий на краю шестиградусной зоны достигает
в южной части 
или 72 см на 1 км;
в северной части 
или 52 см на 1 км.
Искажение площадей соответственно
или 14 м 2 на 1 га;
или 10 м 2 на 1 га.
При составлении топографических планов в масштабе 1:5000 и крупнее такими искажениями пренебрегать нельзя. В этом случае применяют более узкие трёхградусные зоны, где долгота осевого меридиана вычисляется по формуле
Как это видно на рис.5.10 линии сферических координат в проекции Гаусса-Крюгера - прямые линии.
При обратном переходе от сферических координат к географическим осевой меридиан и экватор изобразятся перпендикулярными прямыми (рис.5.11). Остальные меридианы - кривые линии, обращенные вогнутостью к осевому меридиану, а параллели - кривые, обращённые вогнутостью к ближайшему полюсу.
До сих пор мы рассматривали эту проекцию на шаре. При переходе к эллипсоиду вращения общий характер проекции существенно не меняется.
Прямоугольные координаты на эллипсоиде вычисляют по формулам (2.15), а искажение длин линий по формуле (2.18).
Для составления топографических карт на территории б. СССР с 1928 г. принята поперечная цилиндрическая равноугольная проекция Гаусса-Крюгёра.
Применяя проекцию Гаусса-Крюгера, всю земную поверхность делят меридианами на шести- или трехградусные зоны (рис. 4, а). Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны шириной в 3 или 6° долготы зависит от масштаба составляемой карты. При составлении карты в масштабе 1:10 000 или мельче применяют шестиградусную зону, а при составлении карты в масштабе 1: 5000 или крупнее - трехградусную.
Рисунок 4. Вид зоны в проекции Гаусса-Крюгера на шаре и на плоскости
Шестиградусные зоны нумеруют арабскими цифрами, начиная от гринвичского меридиана, с запада на восток. Так как западная граница первой зоны совпадает с гринвичским (начальным) меридианом, то долготы осевых меридианов зон будут: 3, 9, 15, 21°,.... Долготу осевого меридиана можно определить по формуле:
L 0 = 6°N-3,
где N- номер данной зоны.
Трехградусные зоны располагаются на земной поверхности так, что все осевые и граничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми меридианами трехградусных зон.
Системы координат в каждой зоне проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковы: плоские прямоугольные координаты х и у, вычисленные по геодезическим (географическим) координатам В и L в любой координатной зоне, имеют одни и те же значения. В проекции Гаусса-Крюгера осевой меридиан, представляющий ось абсцисс (х), и экватор - ось ординат (у), изображаются взаимно прямыми перпендикулярными линиями, а остальные меридианы - кривыми, сходящимися в полюсах (рис: б). Все абсциссы точек в северных частях зон (к северу от экватора) положительные. Чтобы все ординаты были положительные, ко всем ординатам (отрицательным и положительным) прибавляют 500 км. Кроме того, для полного определения положения точки на земной поверхности впереди измененной ординаты пишут номер зоны. Например, в зоне 7 точка А имеет действительную ординату:
У А = +14 837,4 м.
Преобразованная ордината будет на 7 500 000 м больше, т. е. У А = 7 514837,4 м. Абсциссы точек на всей территории России положительны, их оставляют без изменения.
Для получения картографической сетки в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера Землю помещают в поперечно расположенный цилиндр. Центр проекции располагают в центре шара и прямыми лучами проектируют поверхность шара на образующую поверхность цилиндра. Проектируют поочередно каждую зону. При этом землю поворачивают внутри цилиндра так, чтобы образующая поверхность цилиндра совпадала (касалась) с осевым меридианом зоны, рис. 5.
В результате проектирования картографическая сетка имела следующий вид, рис. 6.
Проекция Гаусса-Крюгера является равноугольной, так как в ней не искажаются горизонтальные углы геометрических фигур земной поверхности. Поэтому бесконечно малые фигуры в этих проекциях подобны соответствующим фигурам на эллипсоиде.
Рисунок 5. Поперечно-цилиндрическая проекция
В проекции Гаусса-Крюгера, кроме того, не искажаются длины дуг осевых меридианов. Длины других линий и площади фигур в этой проекции получаются искаженными.
Рисунок 6. Вид картографической сетки в проекции Гаусса-Крюгера