Типы треугольников
Рассмотрим три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки (рис. 1).
Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков (три точки, не лежащие на одной прямой) – вершинами треугольника.
В таблице 1 перечислены все возможные типы треугольников в зависимости от величины их углов .
Таблица 1 – Типы треугольников в зависимости от величины углов
Рисунок | Тип треугольника | Определение |
Остроугольный треугольник | Треугольник, у которого все углы острые , называют остроугольным | |
Прямоугольный треугольник | Треугольник, у которого один из углов прямой , называют прямоугольным | |
Тупоугольный треугольник | Треугольник, у которого один из углов тупой , называют тупоугольным |
Остроугольный треугольник |
Определение: Треугольник, у которого все углы острые , называют остроугольным |
Прямоугольный треугольник |
Определение: Треугольник, у которого один из углов прямой , называют прямоугольным |
Тупоугольный треугольник |
Определение: Треугольник, у которого один из углов тупой , называют тупоугольным |
В зависимости от длин сторон выделяют два важных типа треугольников.
Таблица 2 – Равнобедренный и равносторонний треугольники
Рисунок | Тип треугольника | Определение |
Равнобедренный треугольник | боковыми сторонами , а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника | |
Равносторонний (правильный) треугольник | Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником |
Равнобедренный треугольник |
Определение: Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным треугольником. В этом случае две равные стороны называют боковыми сторонами , а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника |
Равносторонний (правильный) треугольник |
Определение: Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником |
Признаки равенства треугольников
Треугольники называют равными , если их можно совместить наложением .
В таблице 3 приведены признаки равенства треугольников .
Таблица 3 – Признаки равенства треугольников
Рисунок | Название признака | Формулировка признака |
по двум сторонам и углу между ними | ||
Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам | ||
Признак равенства треугольников по трём сторонам |
Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними |
Формулировка признака
. Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны |
Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам |
Формулировка признака
. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны |
Признак равенства треугольников по трём сторонам |
Формулировка признака
. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны |
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Для сторон прямоугольных треугольников принято использовать следующие названия.
Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла (рис. 2), две другие стороны называют катетами .
Таблица 4 – Признаки равенства прямоугольных треугольников
Рисунок | Название признака | Формулировка признака |
по двум катетам | Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны | |
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу | Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны | |
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу | Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны | |
Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу | Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны | |
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе | Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны |
Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам |
Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о).
Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Проиллюстрируем данный случай:
Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники
Доказательство :
Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.
Рис. 2
Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:
Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:
.
Треугольники равны по первому признаку.
Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3
Доказательство :
Рис. 4
Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:
Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:
Треугольники равны по второму признаку.
Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство :
Рис. 5
Вспомним второй признак равенства треугольников:
Рис. 6
Данные треугольники равны, если:
Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А 1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B 1) доказывается следующим образом:
Поскольку АВ = А 1 В 1 (по условию), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Поэтому треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку.
Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:
Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.
Рис. 7
Доказательство :
Совместим наложением треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . Предположим, что вершины А и А 1 , а также С и С 1 совместились наложением, а вершина В и точка В 1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:
Рис. 8
В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ 1 (по определению - по условию АВ = АВ 1). Поэтому по свойству, ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:
Рис. 9
Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.
Таким образом, ∠АВВ 1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким образом, ∠АВ 1 В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ 1) не может быть равен углу ∠АВВ 1 , ведь данный угол - тупой по доказанному.
Значит наше предположение касательно расположения точек В и В 1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).
Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.
- Омский государственный университет ().
- Справочный портал calc.ru ().
- Учительский портал ().
1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.
3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.
4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.
В курсе геометрии 7 класса были изучены, а на прошлом уроке – повторены, так называемые признаки равенства треугольников . Напомним их:
1-й признак (по 2 сторонам и углу между ними): если у треугольников равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны между собой.
2-й признак (по стороне и двум прилежащим углам): если у треугольников равны сторона и два угла, прилежащие к данной стороне, то такие треугольники равны между собой. Примечание: пользуясь тем, что сумма углов треугольника постоянна и равна , легко доказать, что условие «прилежания» углов не является необходимым, то есть признак будет верен и в такой формулировке: «… равны сторона и два угла, то …».
3-й признак (по 3 сторонам): если у треугольников равны все три стороны, то такие треугольники равны между собой.
Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:
1-й признак (по двум катетам): если у прямоугольных треугольников катеты попарно равны, то такие треугольники равны между собой (см. Рис. 2).
Дано:
Рис. 2. Иллюстрация первого признака равенства прямоугольных треугольников
Доказать:
Доказательство: вспомним, что в прямоугольных треугольниках: . Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: .
Доказано.
2-й признак (по катету и углу): если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. Рис. 3).
Дано:
Рис. 3. Иллюстрация второго признака равенства прямоугольных треугольников
Доказать:
Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна . Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).
Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: .
Доказано.
3-й признак (по гипотенузе и углу): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. Рис. 4).
Дано:
Рис. 4. Иллюстрация третьего признака равенства прямоугольных треугольников
Доказать:
Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию: , , а из свойств прямоугольных треугольников следует, что . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: .
Доказано.
4-й признак (по гипотенузе и катету): если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. Рис. 5).
Дано:
Рис. 5. Иллюстрация четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников
Доказать:
Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: . Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше . Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше . Но это невозможно, а, значит, такого угла в треугольнике быть не может. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить: .
Доказано.
Сформулируем теперь ещё одно свойство, характерное только для прямоугольных треугольников.
Свойство
Катет, лежащий против угла в , в 2 раза меньше гипотенузы (см. Рис. 6).
Дано:
Доказать: AB
Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую за точку на отрезок, равный . Получим точку . Так как углы и – смежные, то их сумма равна . Поскольку , то и угол .
Значит, прямоугольные треугольники (по двум катетам: – общий, – по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.
Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, . Откуда: . Кроме того, (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен , – равносторонний. Из этого следует, в частности, что , что и требовалось доказать.
Доказано.
4. Свойство катета, лежащего против угла в
Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен .
Сформулируем ещё один важный признак прямоугольного треугольника.
Примечание: признак означает, что если какое-то утверждение верно, то треугольник является прямоугольным. То есть признак позволяет идентифицировать прямоугольный треугольник.
Важно не путать признак со свойством – то есть, если треугольник прямоугольный, то у него есть такие свойства… Часто признаки и свойства являются взаимно обратными, но далеко не всегда. Например, свойство равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике есть угол . Но это не будет признаком равностороннего треугольника, так как не любой треугольник, у которого есть угол , является равносторонним.
Можно привести и более жизненный пример: свойство слова «хлеб» – в слове «хлеб» 4 буквы. Но наличие 4 букв не является признаком слова «хлеб», так как существует множество слов из 4 букв.
5. Признак прямоугольного треугольника (медиана равна половине стороны, к которой проведена)
Итак, признак прямоугольного треугольника :
Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.
Примечание: напомним, что медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны (см. Рис. 7).
Дано:
Доказать:
Доказательство: поскольку , то треугольники – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть, , . Тогда сумма углов треугольника равна Значит, . Но: , что и требовалось доказать.
Доказано.
В данном уроке мы рассмотрели основные свойства прямоугольных треугольников, изученные ранее в 7 классе. В частности, вспомнили признаки равенства, а также другие признаки и свойства прямоугольных треугольников.
Домашнее задание
1. В прямоугольном треугольнике , – биссектриса, . Найти длину катета , если см.
2. На гипотенузе прямоугольного треугольника обозначили точку так, что . Докажите, что точка равноудалена от точек , и .
3. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если они относятся как 5:13.
4. Медиана , проведенная к гипотенузе, равняется см. .
5. В треугольнике , – биссектриса, . Отрезок на см меньше отрезка . Найти биссектрису .
Урок 5: Многоугольники
На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.
1. Понятие «многоугольник»
В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах – многоугольниках .
С частным случаем многоугольников мы уже знакомы – это треугольник (см. Рис. 1).
Рис. 1. Треугольник
В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.
Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник
Определение. Многоугольник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами . При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.
Определение. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику .
Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).
Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).
Определение. Периметр многоугольника – сумма длин сторон многоугольника.
Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые . Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.
Рис. 3. Невыпуклый многоугольник
2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Определение 1. Многоугольник называется выпуклым , если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники .
Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.
Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.
Определение 2. Многоугольник называется выпуклым , если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.
Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков на Рис. 2 и 3.
Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.
3. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника
Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника . Рассмотрим их.
Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).
Где – количество его углов (сторон).
Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.
Рис. 4. Выпуклый n-угольник
Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника – , то сумма внутренних углов n-угольника:
Что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.
.Доказано.
Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.
Далее мы более подробно будем работать с частным случаем многоугольников – четырехугольниками. На следующем уроке мы познакомимся с такой фигурой, как параллелограмм, и обсудим его свойства.
Домашнее задание
1. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) ; б) ; в) ?
2. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Выпуклый или невыпуклый этот четырехугольник?
3. Вершины выпуклого пятиугольника соединены через одну. Найдите сумму углов при вершинах полученной «звезды».
Урок 6: Параллелограмм
Данный урок посвящен одному из видов выпуклых четырехугольников, а именно – параллелограмму. Параллелограмм – один из частных видов четырехугольников, который включает в себя такие подвиды, как прямоугольник, ромб, квадрат – фигуры, с которыми каждый из нас знаком еще с детства. Мы рассмотрим определение и свойства параллелограмма, а также решим несколько примеров с использованием этих свойств.
Определение параллелограмма
На прошлом уроке мы рассмотрели понятие выпуклого многоугольника. Теперь изучим частный случай многоугольника – четырехугольник, а точнее – частный случай четырехугольника – параллелограмм .
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
То есть, если даны две параллельные прямые, которые пересекают еще две параллельные прямые, то они образуют фигуру, которая называется параллелограммом .
Из того, что – параллелограмм, можно сделать следующие выводы: . Верно и обратное утверждение: если , то четырёхугольник – параллелограмм.
Помимо данного определения, можно дать ещё несколько эквивалентных, однако мы остановимся именно на таком, классическом определении параллелограмма, и сформулируем свойства данной фигуры, пользуясь параллельностью её противоположных сторон.
Прямоугольные треугольники наравне с равнобедренными и равносторонними занимает свое место среди треугольников, обладая особым набором специфичных свойств, характерных только для этого вида треугольников. Рассмотрим несколько теорем о равенстве прямоугольных треугольников, которые существенно упростят решение некоторых задач.
Первый признак равенства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников проистекают из трех признаков равенства треугольников, но прямой угол искажает их, расширяет при этом делая проще. Любой из признаков равенства прямоугольных треугольников можно заменить одним из трех основных, но это будет занимать слишком много времени, поэтому были выделены 5 свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников.
Очень часто вместо использования основных признаков равенства треугольников, используется метод наложения, когда две фигуры мысленно накладываются одна на другую. Нельзя сказать, что это верно или неверно. Просто еще один способ доказательства, который стоит учитывать. Но нельзя думать, что любой признак можно доказать обычным наложением. Именно поэтому рассмотрим доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников через три основных признака равенства треугольников.
Первый признак равенства прямоугольных треугольников гласит: два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного треугольника равны двум катетам другого треугольника. Коротко этот признак называют равенством по двум катетам.
Рис. 1. Равенство по двум катетам
Доказать этот признак очень просто. Дано: два катета прямоугольных треугольника равны. Между катетами находится прямой угол, который равен 90 градусам, а значит и угол у треугольников совпадает. Следовательно, два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.
Второй признак
Второй признак читается так: два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему углу другого треугольника.
Второй признак доказывается исходя из того же утверждения о равенстве прямых углов между собой. Если у треугольников катеты равны, острые углы при них равны, а прямые углы равны по определению, то такие треугольники равны по второму признаку равенства (стороне и двум, прилежащим к ней углам).
Третий признак
Два прямоугольных треугольника равны, если равен катет и противолежащий острый угол.
Рис. 2. Рисунок к доказательству
Сумма острых углов в треугольнике равна 90 градусов. Обозначим углы малыми латинскими буквами для простоты доказательства. Один угол прямой, а два других обозначим буквами a и b в первом треугольнике; c и d во втором треугольнике.
Углы a и d равны между собой по условию задачи.
Вычтем из обеих сторон выражения угол a
То есть, если в двух прямоугольных треугольника два острых углы равны между собой, то и два других острых угла, также будут равны, и мы можем воспользоваться вторым признаком.
Во втором и третьем признаке нужно особенно акцентировать внимание на остром угле, так как прямые углы всегда равны между собой.
Четвертый признак
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Как было сказано в предыдущем признаке: если острый угол прямоугольного треугольника равен соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника, то и другая пара острых углов треугольников будет равна между собой.
Значит, по условиям этого признака мы имеем равенство гипотенузы и двух острых углов треугольников, а значит такие треугольники будут равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)
Пятый признак
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет у двух треугольников соответственно равны, то и вторые катеты таких треугольников буду равны между собой. Это проистекает из теоремы Пифагора.
Рис. 3. Равенство по катету и гипотенузе
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенузы равны между собой, катет одного треугольника равен квадрату другого треугольника, значит, чтобы сумма оставалась верной, и два других катета будут равны между собой.
Что мы узнали?
Мы рассмотрели доказательство пяти признаков равенства треугольников через основные признаки равенства треугольников. Разобрались, почему такое доказательство предпочтительнее наложения и определили путь доказательства, который позволит в любой момент восстановить основные понятия темы в памяти, без излишнего заучивания.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 100.
Известны три признака равенства любых треугольников:
- по двум сторонам и углу между ними;
- по двум угла и стороне между ними;
- по трем сторонам.
У двух прямоугольных треугольников всегда одна пара углов равна друг другу - это прямые углы. Поэтому признаки равенства треугольников для прямоугольных треугольников упрощаются в том смысле, что для утверждения, что треугольники равны, надо знать о равенстве меньшего количества элементов.
Первый признак равенства треугольников для прямоугольных треугольников сокращается до равенства двух катетов: если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого, то эти треугольники равны . Действительно, ведь между катетами лежит прямой угол, который у обоих треугольников равен 90°.
На основе второго признака равенства треугольников утверждается, что если в у одного прямоугольного треугольника катет и прилежащий к нему непрямой угол равны катету и прилежащему к нему непрямому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны . Действительно, ведь катеты получаются лежащим между равными углами. С одной стороны равны острые углы, а с другой - прямые.
Поскольку острые углы в прямоугольных треугольниках в сумме всегда равны 90°, то если у двух прямоугольных треугольников равен один острый угол, то значит будет равен и другой. Например a - один угол, то 90° – a другой угол у обоих треугольников.
Поэтому прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного равен гипотенузе и острому углу другого , так как по-сути нам известны все острые углы прямоугольных треугольников. И получается равенство по двум углам и стороне между ними.
Также в следствие того, что если известен один острый угол прямоугольного треугольника, то известен и другой, вытекает равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу . В этом случае «работает» второй признак равенства треугольников: по стороне и прилежащей к ней двум углам (один прямой, другой вычисленный).
Кроме перечисленных признаков равенства прямоугольных треугольников существует еще один, которые напрямую не вытекает из трех признаков равенства треугольников: если у прямоугольных треугольников равны по одному катету и гипотенузы, то такие треугольники равны .
Этот признак равенства можно доказать.
Приложим прямоугольные треугольники друг к другу равными катетами так, чтобы прямые углы оказались по разные стороны от полученной общей стороны, а гипотенузы по разные стороны от нее. Эти гипотенузы равны по условию, а значит мы получили равнобедренный треугольник. Значит углы при вершинах, которые отстоят от общей стороны (которой они были приложены друг к другу), равны. Это в свою очередь значит, что у треугольников равны гипотенуза, катет и противоположный ему угол. Но существуют признаки равенства по гипотенузе и острому углу, по катету и противолежащему углу. Значит данные прямоугольные треугольники, у которых равны катет и гипотенуза, равны.